Witaj :)
Naszym zadaniem jest wykazać, że ciąg o podanym wzorze ogólnym jest ciągiem geometrycznym.
Ciąg geometryczny jest to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz tego ciągu powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego o stałą wartość "q", nazywaną ilorazem ciągu geometrycznego. Możemy zapisać, że jeżeli:
[tex]\boxed{dla\ dowolnej\ liczby\ n\in \mathbb N^{+} \ \frac{a_{n+1}}{a_n}=q\ \ \wedge\ \ q\in \mathbb R\ \ to\ ciag\ a_n\ jest\ geometryczny}[/tex]
Wzór ogólny naszego ciągu to:
[tex]a_n=(\frac{2}{3})^{n-1}[/tex]
[tex]a_{n+1}=(\frac{2}{3})^{(n+1)-1}=(\frac{2}{3})^{n+1-1} =(\frac{2}{3}})^n[/tex]
[tex]q=\frac{(\frac{2}{3})^n }{(\frac{2}{3})^{n-1} } =(\frac{2}{3})^{n-(n-1)}=(\frac{2}{3}})^{n-n+1}=\frac{2}{3}[/tex]
Ponieważ:
[tex]\Large \boxed{q=\frac{2}{3}\ \in\ \mathbb R }[/tex]
Ciąg jest geometryczny, C.N.W