Ostrosłup prawidłowy, tj. w podstawie jest wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości.
Do obliczenia pól powierzchni całkowitych tych ostrosłupów będziemy potrzebować wysokości ściany bocznej (trójkąta równoramiennego). Tę wartość wyliczymy z twierdzenia pitagorasa:
ramię^2 - (1/2podstawy)^2 = wysokość^2
[tex]a^2-(\frac12b)^2=h^2[/tex]
[tex]P_b[/tex] - pole ściany bocznej
[tex]P_p[/tex] - pole podstawy
a)
[tex]h^2 = 6^2-(\frac12*4)^2=36-4=32\\h=\sqrt{32} =2\sqrt{8} \\P = 6*P_b+P_p[/tex]
Pole podstawy, tj. sześciokąta foremnego wyliczymy ze wzoru:
[tex]P_p = 6*\frac{a^2\sqrt{3} }{4}[/tex], ponieważ taki sześciokąt zbudowany jest z sześciu trójkątów równobocznych
[tex]P_b=\frac12ah=\frac12*4*2\sqrt{8} =4\sqrt8\\P_p = 6*\frac{16\sqrt3}{4} =24\sqrt3\\P=6*4\sqrt8+24\sqrt3=24\sqrt8+24\sqrt3=24(\sqrt8+\sqrt3)[/tex]
b)
[tex]h^2=9^2-5^2=81-25=56\\h=\sqrt{56}=2\sqrt{14}\\P = 4*P_b+P_p\\P_b=\frac12ah = \frac12*10*2\sqrt{14}=10\sqrt{14}\\P_p=a^2=10^2=100\\P=4*10\sqrt{14}+100=40\sqrt{14}+100=20(2\sqrt{14}+5)[/tex]
c)
[tex]h^2=41^2-9^2=1681-81=1600\\h=40\\P=3*P_b+P_p\\P_b=\frac12ah=\frac12*18*40=360\\P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4} =\frac{324\sqrt3}{4} =81\sqrt3\\P=3*360+81\sqrt3=1080+81\sqrt3=27(40+3\sqrt3)[/tex]