Odpowiedź:
aₙ = 3n + 2 - ciąg rosnący
aₙ = 2n² - 3 - ciąg rosnący
Szczegółowe wyjaśnienie:
Aby sprawdzić monotoniczność ciągu, należy zbudować wyraz aₙ₊₁ i wykonać różnicę aₙ₊₁ - aₙ.
Jeżeli różnica jest dodatnia, to ciąg jest rosnący.
Jeżeli różnica jest ujemna, to ciąg jest malejący.
Jeżeli różnica jest zerowa, to ciąg jest stały.
Jeżeli nie można ustalić znaku różnicy (jest zmienny), to ciąg nie jest monotoniczny.
Mamy ciąg
aₙ = 3n + 2.
Budujemy wyraz następny
aₙ₊₁ = 3(n + 1) + 2 = 3n + 5
Badamy różnicę:
aₙ₊₁ - aₙ = (3n + 5) - (3n + 2) = 3n + 5 - 3n - 2 = (3n - 3n) + (5 - 2) = 3 > 0
WNIOSEK: Ciąg jest rosnący.
Mamy ciąg:
aₙ = 2n² - 3
Budujemy wyraz następny:
aₙ₊₁ = 2(n + 1)² - 3 = 2(n² + 2n + 1) - 3 = 2n² + 4n + 2 - 3 = 2n² + 4n - 1
Badamy różnicę:
aₙ₊₁ - aₙ = (2n² + 4n - 1) - (2n² - 3) = 2n² + 4n - 1 - 2n² + 3
= (2n² - 2n²) + 4n + (-1 + 3) = 4n + 2 > 0
WNIOSEK: Ciąg jest rosnący.
