I sposób:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}3\qquad\implies\qquad \cos^2\alpha =\left(\dfrac{\sqrt5}3\right)^2=\dfrac59[/tex]
[tex]\cos^4\alpha=\left(\cos^2\alpha\right)^2=\left(\dfrac59\right)^2=\dfrac{25}{81}[/tex]
Z jedynki trygonometrycznej [tex]\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\right)[/tex] mamy:
[tex]\sin^2\alpha+\frac59=1\qquad\ /-\frac59\\\\\sin^2\alpha=\frac49[/tex]
Czyli:
[tex]\sin^4\alpha=\left(\sin^2\alpha\right)^2=\left(\dfrac49\right)^2=\dfrac{16}{81}[/tex]
Zatem:
[tex]\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\dfrac{25}{81}-\dfrac{16}{81}=\dfrac9{81}=\dfrac19[/tex]
II sposób:
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że:[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\qquad\implies\qquad\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha[/tex]
Zatem:
[tex]\sin^4\alpha-\cos^4\alpha=\left(\sin^2\alpha\right)^2-\left(\cos^2\alpha\right)^2= \left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)=\\\\= 1\cdot\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)=\sin^2\alpha-\left(1-\sin^2\alpha\right) = \sin^2\alpha-1+\sin^2\alpha=\\\\= 2\sin^2\alpha-1 =2\cdot\left(\dfrac{\sqrt5}{3}\right)^2-1=2\cdot\dfrac59\right)-1=\dfrac{10}9-1=\dfrac19[/tex]
{Zaczynamy od rozłożenia podanego wyrażenia ze wzoru skróconego mnożenia [tex]\left(\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)\,\right)[/tex]; potem upraszczamy je korzystając z jedynki trygonometrycznej, a podstawiamy dopiero na końcu.}
