Odpowiedź :
Zadanie 1.
Odpowiedź C jest prawidłowa.
Zadanie 2.
a) Długość przekątnej kwadratu o boku długości 13 cm wynosi 13√2 cm.
b) Długość boku kwadratu o przekątnej 14 cm wynosi 7√2 cm.
Zadanie 3.
a) Pole tego trójkąta wynosi 25√3 cm².
b) Pole tego trójkąta wynosi 48√3 cm².
Zadania dotyczą twierdzenia Pitagorasa.
[tex]a^2 + b^2 = c^2 \\\\[/tex]
gdzie:
a, b - długości przyprostokątnych w trójkącie prostokątnym
c - długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym
Zadanie 1.
Dane z zadania:
[tex]a = 6\ cm \\\\b = ? \\\\c = 13 \ cm \\\\[/tex]
Obliczamy długość drugiej przyprostokątnej:
[tex]a^2 + b^2 = c^2 \\\\b^2 = c^2 - a^2 \\\\b^2 = (13\ cm)^2 - (6\ cm)^2 \\\\b^2 = 169\ cm^2 - 36\ cm^2 \\\\b^2 = 133\ cm^2 \\\\\boxed{b = \sqrt{133}\ cm}[/tex]
Odpowiedź C jest prawidłowa.
Zadanie 2.
a)
a = 13 cm
d - długość przekątnej kwadratu
Kwadrat ma wszystkie boki równe, więc możemy zapisać, że:
[tex]d^2 = a^2 + a^2 \\\\d^2 = 2a^2 \\\\d^2 = 2 \cdot (13\ cm)^2 \\\\d^2 = 2 \cdot 169\ cm^2 \\\\d^2 = 338\ cm^2 \\\\\boxed{d = \sqrt{338\ cm^2} = \sqrt{169\ cm^2 \cdot 2} = 13\sqrt{2}\ cm}[/tex]
Wniosek: Długość przekątnej kwadratu o boku długości 13 cm wynosi 13√2 cm.
b)
Dane:
d = 14 cm
Postępujemy analogicznie:
[tex]d^2 = 2a^2 \\\\2a^2 = (14\ cm)^2 \\\\2a^2 = 196\ cm^2 \ | : 2 \\\\a^2 = 98\ cm^2 \\\\a = \sqrt{98\ cm^2} \\\\\boxed{a= \sqrt{49\ cm^2 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\ cm}[/tex]
Wniosek: Długość boku kwadratu o przekątnej 14 cm wynosi 7√2 cm.
Zadanie 3.
Przypomnijmy wzór na długość wysokości trójkąta równobocznego:
[tex]h = \cfrac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
a)
Dane z zadania:
a = 10 cm
Wysokość trójkąta pada na podstawę pod kątem prostym i dzieli ją na dwie równe części.
Możemy zapisać, że:
[tex](\cfrac{1}{2}a)^2 + h^2 = a^2 \\\\(\cfrac{1}{2} \cdot 10\ cm)^2 + h^2 = (10\ cm)^2 \\\\(5\ cm)^2 + h^2 = 100\ cm^2 \\\\25\ cm^2 + h^2 =100\ cm^2 \\\\h^2 = 100\ cm^2 - 25\ cm^2 \\\\h^2 = 75\ cm^2 \\\\h = \sqrt{75\ cm^2} = \sqrt{25\ cm^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\ cm[/tex]
Pole trójkąta:
[tex]\boxed{P = \cfrac{a \cdot h}{2} = \cfrac{10\ cm \cdot 5\sqrt{3}\ m}{2} = 25\sqrt{3}\ cm^2}[/tex]
b)
Dane z zadania:
h = 12 cm
I sposób:
Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
[tex](\cfrac{1}{2}\ a)^2 + h^2 = a^2 \\\\\cfrac{1}{4}\ a^2 + (12\ cm)^2 = a^2 \\\\\cfrac{1}{4}\ a^2 + 144\ cm^2 = a^2 \\\\\cfrac{1}{4}\ a^2 -a^2 = -144\ cm^2 \\\\-\cfrac{3}{4}\ a^2 = -144\ cm^2 | : (-\cfrac{3}{4}) \\\\a^2 = (-144\ cm^2) \cdot \cfrac{4}{3} \\\\a^2 = 192\ cm^2 \\\\a = \sqrt{192\ cm^2} = \sqrt{64\ cm^2 \cdot 3} = 8\sqrt{3}\ cm[/tex]
Pamiętajmy, że dzielenie to inaczej mnożenie przez odwrotność.
Obliczamy pole trójkąta:
[tex]\boxed{P = \cfrac{a \cdot h}{2} = \cfrac{8\sqrt{3}\ cm \cdot 12\ cm}{2} = 48\sqrt{3}\ cm^2}[/tex]
II sposób:
Obliczamy długość podstawy - przekształcając wzór na wysokość trójkąta:
[tex]h = \cfrac{a\sqrt{3}}{2} \\\\\cfrac{a\sqrt{3}}{2} = 12\ cm \ | \cdot 2 \\\\a\sqrt{3} = 24\ cm | : \sqrt{3} \\\\a = \cfrac{24\ m}{\sqrt{3}} \cdot \cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \cfrac{24\sqrt{3}\ cm}{3} = 8\sqrt{3}\ cm \\\\[/tex]
Obliczamy pole tego trójkąta:
[tex]\boxed{P = \cfrac{a \cdot h}{2} = \cfrac{8\sqrt{3}\ cm \cdot 12\ cm}{2} = 48\sqrt{3}\ cm^2}[/tex]
#SPJ1
