Funkcja kwadratowa (wykres, postać kanoniczna i ogólna).
Do naszkicowania mamy dwa wykresy funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=(x-3)^2-1\\\\g(x)=-x^2+4x-3[/tex]
Do naszkicowania wykresu funkcji kwadratowej potrzeba nam:
- określenie orientacji paraboli (a < 0, to ramiona w dół, a > 0, to ramiona w górę);
- współrzędne wierzchołka;
- oś symetrii paraboli;
- punkt przecięcia z osią OY;
- miejsca zerowe.
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
[tex]f(x)=a(x-p)^2+q[/tex]
gdzie
[tex]p=\dfrac{-b}{2a};\ q=f(p)=\dfrac{-\Delta}{4a}\qquad(\Delta=b^2-4ac)[/tex]
[tex](p,\ q)[/tex] - współrzędne wierzchołka paraboli
[tex]x=p[/tex] - oś symetrii paraboli
[tex](0,\ f(0)) = (0,\ c)[/tex] - punkt przecięcia wykresu z osią OY
Jeżeli [tex]\Delta < 0[/tex], to brak miejsc zerowych.
Jeżeli [tex]\Delta = 0[/tex], to jedno miejsce zerowe [tex]x=p=\dfrac{-b}{2a}[/tex]
Jeżeli [tex]\Delta > 0[/tex], to dwa miejsca zerowe [tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}[/tex].
[tex]\boxed{f(x)=(x-3)^2-1\to a=1,\ p=3,\ q=-1}[/tex]
[tex]a=1 > 0[/tex] - ramiona skierowane w górę
[tex](3,\ -1)[/tex] - wierzchołek
[tex]x=3[/tex] - oś symetrii
Przedstawmy wzór funkcji w postaci ogólnej f(x) = ax² + bx + c:
[tex]f(x)=(x-3)^2-1=x^2-6x+9-1=x^2-6x+8[/tex]
[tex]a=1,\ b=-6,\ c=8[/tex]
[tex](0,\ 8)[/tex] - punkt przecięcia z osią OY
Miejsca zerowe
[tex]\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4\\\sqrt\Delta=\sqrt4=2\\\\x_1=\dfrac{-(-6)-2}{2\cdot1}=\dfrac{6-2}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\\x_2=\dfrac{-(-6)+2}{2\cdot1}=\dfrac{6+2}{2}=\dfrac{8}{2}=4[/tex]
Kreślimy wykres.
===================================
[tex]\boxed{g(x)=-x^2+4x-3\to a=-1,\ b=4,\ c=-3}[/tex]
[tex]a=-1 < 0[/tex] - ramiona skierowane w dół
[tex](0,-3)[/tex] - punkt przecięcia z osią OY
[tex]p=\dfrac{-4}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-4}{-2}=2\\\\q=f(2)=-2^2+4\cdot2-3=-4+8-3=1[/tex]
[tex](2,\ 1)[/tex] - wierzchołek
[tex]x=2[/tex] - oś symetrii
Miejsca zerowe
[tex]\Delta=4^2-4\cdot(-1)\cdot-3=16-12=4\\\Delta=\sqrt4=2\\\\x_1=\dfrac{-4-2}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-6}{-2}=3\\\\x_2=\dfrac{-4+2}{2\cdot(-1)}=\dfrac{-2}{-2}=1[/tex]
Kreślimy wykres.
====================================
Na podstawie wykresu mamy wyznaczyć wzór funkcji w postaci ogólnej.
Z wykresu czytamy współrzędne wierzchołka:
[tex](-3,\ 4)[/tex]
Zatem wstępnie wzór funkcji w postaci kanonicznej ma postać:
[tex]h(x)=a(x-(-3))^2+4=a(x+3)^2+4[/tex]
Odczytamy również współrzędne jednego z punktów paraboli:
[tex](-1,\ 0)[/tex]
Podstawiamy do wzoru funkcji:
[tex]0=a(-1+3)^2+4\\\\0=a\cdot2^2+4\qquad|-4\\\\4a=-4\qquad|:4\\\\a=-1[/tex]
Zatem mamy:
[tex]h(x)=-(x+3)^2+4[/tex]
Przekształcamy do postaci ogólnej:
[tex]h(x) = -(x^2+6x+9)+4=-x^2-6x-9+4\\\\\huge\boxed{h(x)=-x^2-6x-5}[/tex]
Korzystaliśmy ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2[/tex]
