1. Naszkicuj wykres funkcji f. Podaj zbiór wartości tej funkcji oraz jej miejsca zerowe (jeśli istnieją).
[tex]f(x)=2^{x-1}+1[/tex]
Przekształcanie wykresu funkcji f:
f(x) + n - przesunięcie wykresu o n jednostek w górę.
f(x) - n - przesunięcie wykresu o n jednostek w dół.
f(x + n) - przesunięcie wykresu o n jednostek w lewo.
f(x - n) - przesunięcie wykresu o n jednostek w prawo.
n jest liczbą nieujemną.
Czyli w naszym wzorze funkcji mamy przesunięcie wykresu funkcji
[tex]F(x)=2^x[/tex] o 1 jednostkę w prawo i 1 jednostkę w górę.
Krótko, translacja o wektor [1, 1].
Kreślimy wykres funkcji F(x) i wykonujemy przesunięcie.
Określmy kilka punktów należących do wykresu:
[tex]x=-2\to y=2^{-2}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left(-2,\ \dfrac{1}{4}\right)\\\\x=-1\to y=2^{-1}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left(-1,\ \dfrac{1}{2}\right)\\\\x=0\to y=2^0=1\Rightarrow(0,\ 1)\\\\x=1\to y=2^1=2\Rightarrow(1,\ 2)\\\\x=2\to y=2^2=4\Rightarrow(2, 4)\\\\x=3\to y=2^3=8\Rightarrow(3,\ 8)[/tex]
Odczytujemy:
Zbiór wartości funkcji:
[tex]ZW_f=(1,\ \infty)[/tex]
Miejsca zerowe:
BRAK
2. Oblicz:
[tex]2^{\frac{2}{5}}\cdot8^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{2}{5}}\cdot\left(2^3\right)^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{2}{5}}\cdot2^{3\cdot\frac{1}{5}}=2^{\frac{2}{5}}\cdot2^{\frac{3}{5}}=2^{\frac{2}{5}+\frac{3}{5}}=2^{\frac{5}{5}}=2^1=2[/tex]
[tex]\huge\boxed{2^{\frac{2}{5}}\cdot8^{\frac{1}{5}}=2}[/tex]
Skorzystaliśmy z twierdzeń:
[tex](a^n)^m=a^{n\cdot m}\\\\a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
