[tex]a_{n} = \frac{2n-4}{3n+5}\\\\a_{n+1} = \frac{2(n+1)-4}{3(n+1)+5} = \frac{2n+2-4}{3n+3+5} = \frac{2n-2}{3n+8}[/tex]
Ciąg ([tex]a_{n}[/tex]) jest rosnący, gdy [tex]a_{n+1} > a_{n}[/tex].
Ciąg jest malejący, gdy [tex]a_{n+1} < a_{n}[/tex].
Ciąg jest stały, gdy [tex]a_{n+1} = a_n}[/tex].
Badamy znak różnicy:
[tex]a_{n+1}-a_{n} =\frac{2n-2}{3n+8} - \frac{2n-4}{3n+5} = \frac{(2n-2)(3n+5)}{(3n+8)(3n+5)}-\frac{(2n-4)(3n+8)}{(3n+8)(3n+5)} = \frac{6n^{2}+10n-6n-10-(6n^{2}+16n-12n-32)}{(3n+8)(3n+5)}=[/tex]
[tex]=\frac{6n^{2}+4n-10-(6n^{2}+4n-32)}{(3n+8)(3n+5)}=\frac{6n^{2}+4n-10-6n^{2}-4n+32}{(3n+8)(3n+5)}=\frac{22}{(3n+8)(3n+5)}[/tex]
Ciąg jes rosnący, gdy:
[tex]\frac{22}{(3n+8)(3n+5)} > 0 \ czyli\\\\(3n+8)(3n+5) > 0\\\\3n+8 = 0 \ \ \rightarrow \ \ n = -\frac{8}{3}\\3n+5 = 0 \ \ \rightarrow \ \ n = -\frac{5}{3}[/tex]
ramiona wykresu paraboli są zwrócone do góry, wówczas:
[tex]n\in (-\infty;-\frac{8}{3}) \ \cup \ (-\frac{5}{3};+\infty) \ \ i \ \ n \in N \ \ \rightarrow \ \ n\in \{1,2,3, ...\}[/tex]
Odp. Ciąg [tex]a_{n}[/tex] jest rosnący.
