Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a=4[/tex]
a)
Wzór funkcji P opisującej pole wpisanego kwadratu w zależności od x wyznaczymy jako różnicę pola dużego kwadratu i 4 trójkątów o bokach długości x i 4-x.
[tex]P=P_K-4*P_T\\P(x)=4^2-4*\frac{1}{2}*x*(4-x)\\P(x)=16-2x(4-x)\\P(x)=16-8x+2x^2\\P(x)=2x^2-8x+16[/tex]
Ponieważ mamy tu do czynienia z długościami boków, musimy założyć, że nie są one ujemne lub równe 0.
Stąd mamy założenie:
[tex]\left \{ {{x > 0} \atop {4-x > 0}} \right. \\\left \{ {{x > 0} \atop {-x > -4}} \right. \\\left \{ {{x > 0} \atop {x < 4}} \right.[/tex]
[tex]D_P=(0,4)[/tex]
b)
Aby naszkicować wykres, znajdźmy współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe (o ile istnieją).
[tex]W=(p,q)\\p=-\frac{-8}{2*2}=2\\q=f(p)=f(2)=2*2^2-8*2+16=2*4-16+16=8\\W=(2,8)\\\Delta=(-8)^2-4*2*16=64-128=-64 < 0[/tex]
Delta jest ujemna, więc brak miejsc zerowych.
Wprawdzie dziedziną jest przedział otwarty (0,4), ale aby dobrze narysować wykres, policzmy wartości na krańcach dziedziny.
[tex]2*0^2-8*0+16=16\\2*4^2-8*4+16=2*16-32+16=32-32+16=16[/tex]
Wykres w załączniku.
c)
Informacja o najmniejszym polu znajduje się w wierzchołku.
Najmniejsze pole to [tex]P_{min}=8[/tex] osiągane dla argumentu [tex]x=2[/tex].
