[tex]Zad. 1\\a_n=4-3n\\a_1=4-3*1=4-3=1\\a_2=4-3*2=4-6=-2\\a_2-a_1=r\\-3-1=r\\r=-3\\\\Odp. B[/tex]
[tex]Zad. 2\\Odp. C - \text{ciag rekurencyjny}[/tex]
[tex]Zad. 3\\a_9=17\\a_{17}=9\\\\a_{17}=a_9+(17-9)*r\\a_{17}=a_9+8r\\9=17+8r /-17\\9-17=8r\\-8=8r /:8\\-1=r\\\\a_9=a_1+8r\\17=a_1-8 /+8\\25=a_1\\\\a_n=25+(n-1)*(-1)\\a_n=25-n+1\\\underline{a_n=26-n}[/tex]
[tex]Zad. 4\\a)\\\\a_1=4\\a_2=x\\a_3=y\\a_4=z\\a_5=11\\\\11=4+4r\\7=4r /:4\\\frac74=r\\r=1\frac34\\\\x=5\frac34\\y=7\frac12\\z=9\frac14[/tex]
[tex]b)\\\\a_1=x\\a_2=4\\a_3=y\\a_4=11\\a_5=z\\\\a_4=a_2+2r\\11=4+2r /-4\\7=2r /:2\\r=\frac72=3\frac12\\\\x=4-3\frac12=\frac12\\y=4+3\frac12=7\frac12\\z=11+3\frac12=14\frac12[/tex]
[tex]Zad. 5\\a)\\a_n=3n-n^2\\a_1=3*1-1^2=3-1=2\\a_2=3*2-2^2=6-4=2\\a_3=3*3-3^2=9-9=0\\a_4=3*4-4^2=12-16=-4\\\text{Nie, r nie jest stale}[/tex]
[tex]b)\\a_n=\frac{2n-5}{n+2}\\a_1=\frac{2*1-5}{1+2}=\frac{3-5}3=\frac{-2}3=-\frac23\\a_2=\frac{2*2-5}{2+2}=\frac{4-5}4=\frac{-1}4=-\frac14\\a_3=\frac{2*3-5}{3+2}=\frac{6-5}6=\frac{1}6\\a_4=\frac{2*4-5}{4+2}=\frac{8-5}8=\frac{3}8\\\\a_2-a_1=r\\-\frac14+\frac23=r\\-\frac{3}{12}+\frac{8}{12}=r\\r=\frac5{12}\\\\a_3-a_2=r\\\frac16+\frac14=r\\\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=r\\r=\frac5{12}\\\\a_4-a_3=r\\\frac38-\frac16=r\\\frac{9}{24}-\frac{4}{24}=r\\\frac5{24}=r\\\text{Nie, r nie jest stale}[/tex]
[tex]c)\\\\a_n=(-2)^n+1\\a_1=(-2)^1+1=-2+1=-1\\a_2=(-2)^2+1=4+1=5\\a_3=(-2)^3+1=-8+1=-7\\\\\text{Nie, r nie jest stale}[/tex]
[tex]Zad. 6\\x, y, z\\y=x+r\\z=x+2r\\\\x+y+z=-3\\x+x+r+x+2r=-3\\3x+3r=-3\\3(x+r)=-3 /:3\\x+r=-1\\x=-1-r\\y=-1\\z=y+r = -1+r\\\\xyz=24\\(-1-r)*(-1)*(-1+r)=24\\-1(-1-r)(-1+r)=24\\-1((-1)^2-r^2)=24 /:(-1)\\1-r^2=-24\\-r^2=-24-1\\-r^2=-25\\r^2=25\\r=5 \text{ v } r=-5[/tex]
[tex]\text{Dla r=5}\\x=-1-5=-6\\y=-1\\z=-1+5=4\\\\-6-1+4=-7+4=-3\\(-6)*(-1)*4=6*4=24\\\\\text{Dla } r=-5\\x=-1+5=4\\y=-1\\z=-1-5=-6\\\\4-1-6=4-7=-3\\4*(-1)*(-6)=-4*(-6)=24[/tex]
Odp. Te liczby to: -6, -1, 4 lub 4, -1, -6
[tex]Zad. 7\\a_1=34\\a_2=41\\a_3=49\\a_4=55\\\\a_4=a_1+3r\\55=34+3r\\55-34=3r\\21=3r /:3\\r=7\\\\a_2=a_1+r\\a_2=34+7\\a_2=41 - \text{ zgadza sie}\\\\a_3=a_2+r\\a_3=41+7\\a_3 = 48 - \text{ do zmiany}\\\\a_4=a_3+r\\a_4=48+7\\a_4=55\\\\\text{Nalezy zmienic 3 wyraz ciagu z 49 na 48 aby ciag byl arytmetyczny}[/tex]
