Odpowiedź:
[tex]\cos\alpha=\frac{13}{15}\\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{14}}{15}\\P=8\sqrt{14}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Skorzystamy z tw. cosinusów.
[tex]6^2=10^2+12^2-2*10*12*\cos\alpha\\36=100+144-240\cos\alpha\\36=244-240\cos\alpha\\240\cos\alpha=244-36\\240\cos\alpha=208\ |:240\\\cos\alpha=\frac{208}{240}\\\cos\alpha=\frac{13}{15}[/tex]
W trójkącie może być co najwyżej 1 kąt rozwarty, więc najmniejszy kąt musi być ostry. Policzmy sinus z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin^2\alpha+(\frac{13}{15})^2=1\\\sin^2\alpha+\frac{169}{225}=1\\\sin^2\alpha=1-\frac{169}{225}\\\sin^2\alpha=\frac{56}{225}\\\sin\alpha=\sqrt{\frac{56}{225}}\vee\sin\alpha=-\sqrt{\frac{56}{225}}[/tex]
Ale wiemy już, że kąt jest ostry, więc
[tex]\sin\alpha=\sqrt{\frac{56}{225}}\\\sin\alpha=\frac{\sqrt{56}}{\sqrt{225}}\\\sin\alpha=\frac{2\sqrt{14}}{15}[/tex]
Policzmy pole trójkąta.
[tex]P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\\P=\frac{1}{2}*10*12*\frac{2\sqrt{14}}{15}=60*\frac{2\sqrt{14}}{15}=8\sqrt{14}[/tex]
