Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka i przechodząca przez jego środek.
Współczynnik kierunkowy prostej zawierającej odcinek AB:
[tex]a_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-y_A}\\\\a_{AB}=\dfrac{3+3}{2+4}=\dfrac66\\\\\bold {a_{AB}=1}[/tex]
Proste są prostopadłe jeśli ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:
[tex]\bold{a_2=-\dfrac1{a_1}}[/tex] (lub: a₁·a₂=-1)
Zatem współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do AB:
[tex]\bold{a=-\dfrac1{a_{AB}}}\\\\\bold{a=-\dfrac11}=-1}[/tex]
Dowolna prosta prostopadła do AB ma więc równanie:
[tex]\bold{y=-x+b}[/tex]
Szukana prosta przechodzi przez środek odcinka AB. Współrzędne środka odcinka to średnie arytmetyczne współrzędnych jego końców:
[tex]S=(x_s\,,\,y_s)=\left(\dfrac{x_1+x_2}2\,,\ \dfrac{y_1+y_2}2\right)[/tex]
Stąd:
[tex]\bold{S_{AB}=\left(\dfrac{x_A+x_B}2\,,\ \dfrac{y_A+y_B}2\right)=\left(\dfrac{-4+2}2\,,\ \dfrac{-3+3}2\right)=\left({-}1\,,\ 0\right)}[/tex]
Jeśli prosta przechodzi przez jakiś punk, to współrzędne tego punktu spełniają jej równanie:
[tex]\bold{y=-x+b\qquad\wedge\qquad S=(-1\,,\,0)}\\\\\bold{0=-(-1)+b}\\\\\bold{0=1+b}\\\\ \bold{b=-1}[/tex]
Zatem:
Równanie symetralnej:
[tex]\large\boxed{\bold{\ y=-x-1}\ }[/tex]
