Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji
y = x² - x - 2 w przedziale <-2, 0>.
Funkcja kwadratowa
y = f(x) = ax² + bx + c, dla a > 0 przyjmuje wartość najmniejszą w
punkcie wierzchołka o współrzędnych: W(x, y) = W(-b/2a, -Δ/4a),
gdzie Δ = b² - 4ac.
Wykresem funkcji jest parabola skierowana gałęziami do góry
(wierzchołkiem do dołu), której osią symetrii jest prosta o równaniu
x = - b/2a.
Wyznaczymy wierzchołek funkcji danej równaniem y = x² - x - 2,
wyróżnik równania Δ = (-1)² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9 to Δ = 9 to
współrzędne wierzchołka
W(x, y) = W(-b/2a, -Δ/4a) = W(1/2, -9/4).
Dla sprawdzenia współrzędnej y wierzchołka, podstawimy
współrzędną x = 1/2 do równania:
y = f(1/2) = (1/2)² - 1/2 - 2 = 1/4 - 2/4 - 8/4 = - 9/4, co należało sprawdzić.
to: Odpowiedź:
Ponieważ:
Dla x∈ (- ∞, 1/2), f(x) ╲ (malejąca)
Dla x∈ (1/2, + ∞), f(x) ╱ (rosnąca)
a f(x) w punkcie x = 1/2 zmienia się z malejącej ╲╱ na rosnącą.
to w f(1/2) = - 9/4 funkcja ma ekstremum = minimum,
to:
W całym przedziale x ∈ ⟨-2, 0⟩, w którym należy wyznaczyć
najmniejszą i największą wartość funkcji, f(x) ╲ (malejąca),
to:
na lewym krańcu przedziału x ∈ ⟨-2, 0⟩,
f(x) = f(-2) = 4 + 2 - 2 = 4 ma wartość największą,
a na prawym krańcu przedziału x ∈ ⟨-2, 0⟩,
f(x) = f(0) = - 2 ma wartość najmniejszą.