Schlug
Rozwiązane

Wielomian w(x) = x^4-x^3-19x^2+49x-30 ma cztery różne pierwiastki całkowite.

Suma dwóch spośród nich jest równa -2. Podaj wszystkie pierwiastki tego wielomianu.



Odpowiedź :

Po podstawieniu 1 pod x wychodzi nam, że W(1) = 0, zatem 1 jest jednym z miejsc zerowych tego wielomianu.
Wielomian W(x) podzieliłem przez dwumian x-1, rozwiązanie w załączniku (źródło elsenaju.eu).

Po podzieleniu możemy zapisać nasz wielomian jako:

[tex]W(x) = (x-1)(x^3-19x+30)[/tex].

Szukamy miejsca zerowego wielomianu [tex](x^3-19x+30)[/tex], po podstawieniu 2 za x wychodzi nam 0. Rozwiązanie hornerem w załączniku.

Zapisujemy nasz wielomian:

[tex]W(x) = (x-1)(x-2)(x^2+2x-15)[/tex]

Teraz liczymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej [tex]f(x)=x^2+2x-15[/tex]:

Δ [tex]= 2^2-4*1*(-15)=4+60=64[/tex]

√Δ = 8

[tex]x_1=\frac{-2-8}{2} =\frac{-10}{2} =-5\\\\x_2=\frac{-2+8}{2} =3[/tex].

Zatem nasz wielomian wygląda teraz następująco:

[tex]W(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x+5)[/tex], a z tego wynika, że miejscami zerowymi tego wielomianu są liczby: -5, 1, 2, 3.

Zobacz obrazek Hav00c
Zobacz obrazek Hav00c
Hanka

Wielomian w(x) = x^4-x^3-19x^2+49x-30 ma cztery różne pierwiastki całkowite. Suma dwóch spośród nich jest równa -2. Podaj wszystkie pierwiastki tego wielomianu.

Skoro ma pierwiastki całkowite, to muszą być one dzielnikami wyrazu wolnego.

Dzielniki -30 to:

-30, -15, -10, -6, -5, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Suma dwóch z nich jest równa -2, więc tymi pierwiastkami są liczby -5 i 3

Wielomian w(x) można więc zapisać jako:

[tex]w(x) =(x+5)(x-3)(x^2+ax+b)[/tex]

[tex]w(x) =(x^2-3x+5x-15)(x^2+ax+b)[/tex]

[tex]w(x) =(x^2+2x-15)(x^2+ax+b)[/tex]

Obliczam a i b

[tex]x^4-x^3-19x^2+49x-30=(x^2+2x-15)(x^2+ax+b)[/tex]

[tex]x^4-x^3-19x^2+49x-30=x^4+ax^3+bx^2+2x^3+2ax^2+2bx-15x^2-15ax-15b[/tex]

[tex]x^4-x^3-19x^2+49x-30=x^4 + (a + 2)x^3 + (2a + b - 15)x^2 + (2b - 15a)x - 15b[/tex]

[tex]a+2=-1[/tex]

[tex]a=-1-2[/tex]

[tex]a=-3[/tex]

[tex]-15b=-30\ \ \ |:(-15)[/tex]

[tex]b=2[/tex]

Obliczam pozostałe pierwiastki wielomianu

[tex]w(x) =(x^2+2x-15)(x^2-3x+2)[/tex]

[tex]x^2-3x+2=0[/tex]

[tex]x^2-x-2x+2=0[/tex]

[tex]x(x-1)-2(x-1)=0[/tex]

[tex](x-1)(x-2)=0[/tex]

[tex]x-1=0\ \ \ lub\ \ \ x-2=0[/tex]

[tex]x=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=2[/tex]

Pierwiastkami wielomianu są: [tex]-5,1,2,3[/tex]

Inne Pytanie