Rozwiązanie:
[tex]\bold{(h)}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\frac{2x}{\sqrt{1+y^{3}} } dxdy[/tex]
Rysunek obszaru w załączniku.
Obszar jest normalny tylko względem osi [tex]OY[/tex]. Wykorzystamy to. Wyznaczamy zmienną [tex]x[/tex] jak funkcję [tex]y[/tex] :
[tex]y=x \iff x = y[/tex]
[tex]$y=\frac{1}{2}x \iff x=2y[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\frac{2x}{\sqrt{1+y^{3}} } dxdy=\int\limits^{2}_{0}\Bigg(\int\limits^{2y}_{y} \frac{2x}{\sqrt{1+y^{3}}} dx \Bigg)dy=\int\limits^{2}_{0}\frac{x^{2}}{\sqrt{1+y^{3}}}\Bigg|^{2y}_{y}dy=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2}_{0}\frac{3y^{2}}{\sqrt{1+y^{3}}}dy[/tex]
Całka nieoznaczona:
[tex]$\int \frac{3y^{2}}{\sqrt{1+y^{3}}}dy=\left|\begin{array}{ccc}u=1+y^{3}\\du=3y^{2}\ dy\end{array}\right|=\int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C=2\sqrt{1+y^{3}}+C[/tex]
Zatem:
[tex]$\int\limits^{2}_{0}\frac{3y^{2}}{\sqrt{1+y^{3}}}dy=2\sqrt{1+y^{3}} \Bigg|^{2}_{0}=6-2=4[/tex]
[tex]\bold{(i)}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D}xdxdy[/tex]
Rysunek obszaru w załączniku.
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}xdxdy=\int\limits^{4}_{1}\Bigg(\int\limits^{x^{2}-6x+8}_{4x-x^{2}}xdy\Bigg)dx=\int\limits^{4}_{1}x\Big(x^{2}-6x+8-4x+x^{2}\Big)dx=[/tex]
[tex]$\int\limits^{4}_{1}\Big(2x^{3}-10x^{2}+8x\Big)dx=\frac{1}{2} x^{4}-\frac{10}{3}x^{3}+4x^{2}\Bigg| ^{4}_{1}=-\frac{64}{3} -\frac{7}{6} =-\frac{45}{2}[/tex]
