Odpowiedź:
[tex]$y=x \vee y=x-\frac{4}{27}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]f(x)=x^{3}+2x^{2}+2x[/tex]
Skoro styczne mają być prostopadłe do prostej:
[tex]x+y-5=0 \iff y = -x+5[/tex]
to współczynnik kierunkowy stycznej musi być równy [tex]1[/tex].
Zatem szukamy takich stycznych, że:
[tex]f'(x_{0})=1[/tex]
gdzie [tex]x_{0}[/tex] jest odciętą punktu styczności.
Pochodna:
[tex]f'(x)=3x^{2}+4x+2[/tex]
Stąd:
[tex]f'(x_{0})=3x_{0}^{2}+4x_{0}+2[/tex]
[tex]3x_{0}^{2}+4x_{0}+2=1[/tex]
[tex]3x_{0}^{2}+4x_{0}+1=0[/tex]
[tex]\Delta=16 -4 \cdot 3 \cdot 1=4 \Rightarrow \sqrt{\Delta}=2[/tex]
[tex]$x_{0}=\frac{-4-2}{6} =-1 \vee x_{0}=\frac{-4+2}{6} =-\frac{1}{3}[/tex]
Wzór na styczną:
[tex]y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})[/tex]
Dla [tex]x_{0}=-1[/tex] mamy:
[tex]y=f'(-1)(x+1)+f(-1)=(x+1)-1=x[/tex]
Dla [tex]$x_{0}=-\frac{1}{3}[/tex] mamy:
[tex]$y=f'\Big(-\frac{1}{3}\Big)\Big(x+\frac{1}{3} \Big)+f\Big(-\frac{1}{3} \Big)=x+\frac{1}{3} -\frac{13}{27}=x-\frac{4}{27}[/tex]
