ctgα = 2 > 0 ⇒ α∈(0°,90°) lub α∈(180°, 270°)
Stąd:
- dla α∈(0°,90°) mamy sinα>0, cosα>0 i tgα>0,
- dla α∈(180°, 270°) mamy sinα<0, cosα<0 i tgα>0,
Więc będą dwie różne wartości danego wyrażenia.
Korzystamy z tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\,;\qquad\text{tg\,}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\.;\qquad \text{ctg\,}\alpha=\dfrac1{\text{tg\,}\alpha}[/tex]
żeby wyznaczyć wartości pozostałych funkcji:
[tex]\text{ctg\,}\alpha=\dfrac1{\text{tg\,}\alpha}\quad\implies\quad \text{tg\,}\alpha=\dfrac1{\text{ctg\,}\alpha}=\dfrac12\\\\\\\text{tg\,}\alpha=\dfrac12\\\\\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac12 \\\\\cos\alpha=2\sin\alpha \\\\\\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\sin^2\alpha+(2\sin\alpha)^2=1 \\\\ \sin^2\alpha+4\sin^2\alpha=1\\\\5\sin^2\alpha=1\\\\\sin^2=\dfrac15\\\\ \sin\alpha=\sqrt{\frac15}\qquad\vee\qquad\sin\alpha=-\sqrt{\frac15}\\\\ \sin\alpha=\dfrac1{\sqrt5}\qquad\vee\qquad\sin\alpha=-\dfrac1{\sqrt5}[/tex]
[tex]\cos\alpha=2\sin\alpha\\\\ \cos\alpha=\dfrac2{\sqrt5}\qquad\vee\qquad\cos\alpha=-\dfrac2{\sqrt5}[/tex]
Zatem:
Dla α∈(0°,90°):
[tex]\dfrac{\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}= \dfrac{\frac12+2}{\frac1{\sqrt5}+\frac2{\sqrt5}}= \dfrac{\frac52}{\frac3{\sqrt5}}= \dfrac52\cdot\dfrac{\sqrt5}3=\dfrac{5\sqrt5}6[/tex]
Dla α∈(180°, 270°):
[tex]\dfrac{\text{tg\,}\alpha+\text{ctg\,}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}= \dfrac{\frac12+2}{-\frac1{\sqrt5}-\frac2{\sqrt5}} = \dfrac{\frac52}{-\frac3{\sqrt5}}=- \dfrac52\cdot\dfrac{\sqrt5}3=-\dfrac{5\sqrt5}6[/tex]
Uwaga dodatkowa:
Jeśli jesteś na podstawie i nie przerabiacie funkcji trygonometrycznych kątów większych niż 180°, to zignoruj część rozwiązania dotyczącą α∈(180°, 270°) {ujemny sinus i cosinus}.
