Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{1) \ \boxed{P_c=334 \ cm^2} \ oraz\ \boxed{V=385 \ cm^3}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{2) \ \boxed{P_c=18(\sqrt3+10) \ cm^2} \ oraz \ \boxed{V=90\sqrt3 \ cm^3}}[/tex]
[tex]\huge\boxed{3) \ \boxed{P_c=16(16+6\sqrt2) \ cm^2} \ oraz \ \boxed{V=384 \ cm^3}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jak obliczamy:
Objętość to iloczyn pola podstawy graniastosłupa przez jego wysokość, czyli wzór wygląda następująco ↓
[tex]V=P_p\cdot H[/tex]
- pole powierzchni całkowitej?
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to suma pól jego podstaw (każdy ma dwie takie same) i sumy pól ścian bocznych, czyli wzór wygląda następująco ↓
[tex]P_c=2\cdot P_p+P_b[/tex]
Przykład 1)
Co mamy dane?
- wysokość, czyli krawędź boczna ma długość 11 cm
- podstawą jest prostokąt o bokach 5 cm i 7 cm
Kroki rozwiązania:
- obliczenie pola jednej podstawy
- obliczenie pola ściany bocznej o wymiarach 5 cm × 11 cm
- obliczenie pola ściany bocznej o wymiarach 7 cm × 11 cm
- Zsumowanie pól i wyliczenie pola całkowitego
- Obliczenie objętości
Obliczenia:
[tex]P_p=a\cdot b=5 \ cm\cdot7 \ cm=35 \ cm^2\\\\P_{sciany \ o \ wymiarach \ 5 \ cm \ \times \ 11 \ cm}=5 \ cm\cdot11 \ cm=55 \ cm^2\\\\P_{sciany \ o \ wymiarach \ 7 \ cm \ \times \ 11 \ cm}=7 \ cm\cdot11 \ cm=77 \ cm^2\\\\P_c=2\cdot35 \ cm^2+2\cdot55 \ cm^2+2\cdot77 \ cm^2=70 \ cm^2+110 \ cm^2+154 \ cm^2\\\\P_c=334 \ cm^2\\\\V=35 \ cm^2\cdot11 \ cm\\\\V=385 \ cm^3[/tex]
Przykład 2)
Co mamy dane?
- wysokość, czyli krawędź boczną od długości 10 cm
- podstawę będącą trójkątem równobocznym o krawędzi 6 cm
Kroki rozwiązania:
- obliczenie pola podstawy
- obliczenie pola ściany bocznej (ma ona wymiary 6 cm × 10 cm i są trzy identyczne ściany boczne, skoro mamy trójkąt równoboczny)
- Obliczenie pola całkowitego
- Obliczenie objętości
Obliczenia:
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{6^2\sqrt3}{4}=\frac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3 \ cm^2\\\\P_{sciany \ bocznej \ o \ wymiarach \ 6 \ cm \ \times \ 10 \ cm}=6 \ cm\cdot10 \ cm=60 \ cm^2\\\\P_c=2\cdot9\sqrt3 \ cm^2+3\cdot60 \ cm^2=18\sqrt3 \ cm^2+180 \ cm^2\\\\P_c=18(\sqrt3+10) \ cm^2\\\\V=9\sqrt3 \ cm^2\cdot10 \ cm\\\\V=90\sqrt3 \ cm^3[/tex]
Przykład 3)
Co mamy dane?
- wysokość, czyli krawędź boczna ma długość 12 cm
- podstawą jest trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych równych 8 cm i przeciwprostokątnej równej 8√2 cm (to wynika ze wzoru d = a√2)
Kroki rozwiązania:
- Obliczenie pola podstawy, czyli trójkąta prostokątnego równoramiennego
- Obliczenie pola ściany bocznej o wymiarach 8 cm × 12 cm
- Obliczenie pola ściany bocznej o wymiarach 8√2 cm × 12 cm
- Obliczenie pola powierzchni całkowitej
- Obliczenie objętości
Obliczenia:
[tex]P_p=\frac{1}{2}\cdot a^2=\frac{1}{2}\cdot(8 \ cm)^2=\frac{1}{2}\cdot64 \ cm^2=32 \ cm^2\\\\P_{sciany \ o \ wymiarach \ 8 \ cm \ \times \ 12 \ cm}=8 \ cm\cdot12 \ cm=96 \ cm^2\\\\P_{sciany \ o \ wymiarach \ 8\sqrt2 \ cm \ \times \ 12 \ cm}=8\sqrt2 \ cm\cdot12 \ cm=96\sqrt2 \ cm^2\\\\P_c=2\cdot32 \ cm^2+2\cdot96 \ cm^2+96\sqrt2 \ cm^2=64 \ cm^2+192 \ cm^2+96\sqrt2 \ cm^2\\\\P_c=256 \ cm^2+96\sqrt2 \ cm^2=16(16+6\sqrt2) \ cm^2\\\\V=32 \ cm^2\cdot12 \ cm\\\\V=384 \ cm^3[/tex]
