Funkcja kwadratowa. Równanie kwadratowe z parametrem.
Zad.1
Oblicz miejsca zerowe funkcji f(x) = -2(x + 3)² + 32.
Miejsce zerowe funkcji, to taki argument, dla którego wartość funkcji wynosi 0.
Mamy równanie:
[tex]-2(x+3)^2+32=0\qquad|-32\\\\-2(x+3)^2=-32\qquad|:(-2)\\\\(x+3)^2=16\Rightarrow x+3=\pm\sqrt{16}\\\\x+3=-4\ \vee\ x+3=4\qquad|-3\\\\\huge\boxed{x=-7\ \vee\ x=1}[/tex]
Zad.2
Oblicz, dla jakich wartości parametru m równanie x² - 2mx + 3m + 4 = 0 ma dwa różne rozwiązania dodatnie.
Aby równanie kwadratowe posiadało dwa różne pierwiastki dodatnie, muszą zachodzić warunki:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\\Delta > 0&(2)\\x_1+x_2 > 0&(3)\\x_1\cdot x_2 > 0&(4)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\\a=1\neq0\\\\\boxed{m\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex](2)\\\Delta=(-2m)^2-4\cdot1\cdot(3m+4)=4m^2-12m-16\\\\\Delta > 0\iff4m^2-12m-16 > 0\qquad|:4\\\\m^2-3m-4 > 0\\\\m^2-4m+m-4 > 0\\\\m(m-4)+1(m-4) > 0\\\\(m-4)(m+1) > 0\\\.\ \ \ ^{m=4}\ \ \ ^{\ \ m=-1}[/tex]
Współczynnik przy m² jest dodatni. Zatem ramiona paraboli skierowane w górę.
Kreślimy rysunek poglądowy i odczytujemy rozwiązanie.
[tex]\huge\boxed{m\in(-\infty,\ -1)\ \cup\ (4,\ \infty)}[/tex]
W (3) i w (4) skorzystamy ze wzorów Viete'a:
[tex]x_1+x_2=\dfrac{-b}{a};\ x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
[tex](3)\\\\x_1+x_2 > 0\iff\dfrac{-(-2m)}{1} > 0\\\\2m > 0\qquad|:2\\\\m > 0\\\\\huge\boxed{m\in(0,\ \infty)}[/tex]
[tex](4)\\\\x_1\cdot x_2 > 0\iff\dfrac{3m+4}{1} > 0\\\\3m+4 > 0\qquad|-4\\\\3m > -4\qquad|:3\\\\m > -\dfrac{4}{3}\\\\\huge\boxed{m\in\left(-\dfrac{4}{3},\ \infty\right)}[/tex]
Z (1), (2), (3) i (4) mamy część wspólną, która daje nam odpowiedź:
[tex]\mathbb{R}\ \cap\ \left[(-\infty,\ -1)\ \cup\ (4,\ \infty)\right]\ \cap\ (0,\ \infty)\ \cap\ \left(-\dfrac{4}{3},\ \infty\right)[/tex]
[tex]\huge\boxed{\boxed{m\in(4,\ \infty)}}[/tex]
