Odpowiedź:
[tex]D=(8,0)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]A=(9,12)[/tex]
Prosta
[tex]k:y=\frac{1}{2}x[/tex]
zawiera dwusieczną kąta ABC tego trójkąta. Oznacza to, że przechodzi przez punkt B.
Okrąg
[tex](x-8)^2 + (y-4)^2 = 16[/tex]
jest wpisany w trójkąt. Z faktu, że dwusieczne kątów trójkąta wyznaczają środek okręgu wpisanego, wnioskujemy, że środek okręgu leży na prostej k. Okrąg ten ma środek [tex]S=(8,4)[/tex] i promień [tex]r=\sqrt{16}=4[/tex].
Skoro punkt B leży na prostej k, to jego współrzędne można zapisać jako
[tex]B=(x_B,\frac{1}{2}x_B)[/tex]
Wyznaczmy prostą AB w zależności od [tex]x_B[/tex].
[tex]AB:y=ax+b\\a=\frac{\frac{1}{2}x__B-12}{x_B-9}=\frac{x__B-24}{2x_B-18}\\12=\frac{x__B-24}{2x_B-18}*9+b\\12=\frac{9x_B-216}{2x_B-18}+b\\b=12-\frac{9x_B-216}{2x_B-18}\\b=\frac{24x_B-216}{2x_B-18}-\frac{9x_B-216}{2x_B-18}\\b=\frac{24x_B-216-9x_B+216}{2x_B-18}\\b=\frac{15x_B}{2x_B-18}\\AB:y=\frac{x__B-24}{2x_B-18}x+\frac{15x_B}{2x_B-18}[/tex]
Celem policzenia [tex]x_B[/tex] skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. W tym przypadku odległość środka okręgu S od prostej AB będzie równa promieniowi.
Najpierw przedstawmy prostą AB w postaci ogólnej.
[tex]y=\frac{x__B-24}{2x_B-18}x+\frac{15x_B}{2x_B-18}\\\frac{x__B-24}{2x_B-18}x-y+\frac{15x_B}{2x_B-18}=0\ |*(2x_B-18)\\(x_B-24)x-(2x_B-18)y+15x_B=0[/tex]
Wstawiamy dane do wzoru na odległość punktu od prostej i przyrównujemy do długości promienia.
[tex]\frac{|(x_B-24)*8-(2x_B-18)*4+15x_B|}{\sqrt{(x_B-24)^2+[-(2x_B-18)]^2}}=4\\\frac{|8x_B-192-8x_B+72+15x_B|}{\sqrt{x^2_B-48x_B+576+4x^2_B-72x_B+324}}=4\\\frac{|15x_B-120|}{\sqrt{5x^2_B-120x_B+900}}=4\ |*\sqrt{5x^2_B-120x_B+900}\\|15x_B-120|=4\sqrt{5x^2_B-120x_B+900}\ |^2\\225x^2_B-3600x_B+14400=16(5x^2_B-120x_B+900)\\225x^2_B-3600x_B+14400=80x^2_B-1920x_B+14400\\145x^2_B-1680x_B=0\\x_B(145x_B-1680)=0\\x_B=0\vee 145x_B=1680\ |:145\\x_B=0\vee x_B=11\frac{17}{29}[/tex]
Mamy dwie możliwości dla punktu B.
[tex]B=(0,0)\vee B=(11\frac{17}{29},5\frac{23}{29})[/tex]
Jednak ten drugi punkt musimy odrzucić, bo leży on na okręgu, więc nie może być wierzchołkiem trójkąta, w którym okrąg jest wpisany.
Zatem ostatecznie
[tex]B=(0,0)[/tex]
Ponieważ punkt B leży na osi OX oraz okrąg jest styczny do tej osi, to bok BC zawiera się w prostej
[tex]BC:y=0[/tex]
Stąd już łatwo wyznaczyć punkt styczności (nazwijmy go D) prostej BC z okręgiem.
[tex]\left \{ {{(x-8)^2 + (y-4)^2 = 16} \atop {y=0}} \right. \\\left \{ {{(x-8)^2 + (0-4)^2 = 16} \atop {y=0}} \right. \\\left \{ {{(x-8)^2 + 16 = 16} \atop {y=0}} \right. \\\left \{ {{(x-8)^2 =0} \atop {y=0}} \right. \\\left \{ {{x-8 =0} \atop {y=0}} \right. \\\left \{ {{x=8} \atop {y=0}} \right.[/tex]
Zatem
[tex]D=(8,0)[/tex]
Uwaga: Poniższe obliczenia nie są potrzebne, bo odpowiedź już mamy, ale wykonamy je dla dobrego rysunku.
Skoro punkt C leży na prostej BC, to jego współrzędne można zapisać jako
[tex]C=(x_C,0)[/tex]
Prostą AC wyznaczymy, korzystając z punktu A i odrzuconego punktu styczności.
[tex]AC:y=ax+b\\a=\frac{5\frac{23}{29}-12}{11\frac{17}{29}-9}=\frac{\frac{168}{29}-\frac{348}{29}}{\frac{336}{29}-\frac{261}{29}}=\frac{-\frac{180}{29}}{\frac{75}{29}}=-\frac{180}{29}*\frac{29}{75}=-\frac{180}{75}=-2\frac{2}{5}\\12=-2\frac{2}{5}*9+b\\12=-\frac{12}{5}*9+b\\12=-\frac{108}{5}+b\\12=-21\frac{3}{5}+b\\b=12+21\frac{3}{5}\\b=33\frac{3}{5}\\AC:y=-2\frac{2}{5}x+33\frac{3}{5}[/tex]
Teraz można policzyć współrzędne punktu C.
[tex]0=-2\frac{2}{5}x_C+33\frac{3}{5}\\2\frac{2}{5}x_C=33\frac{3}{5}\\\frac{12}{5}x_C=\frac{168}{5}\ |*\frac{5}{12}\\x_C=14\\C=(14,0)[/tex]
