Odpowiedź :
Odpowiedź:
Dwa rozwiązania, w tym ciąg stały.
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}x=4\frac{2}{3} \\ y=4\frac{2}{3} \\ z=4\frac{2}{3} }\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{lll}x=2 \\ y=4 \\ z=8 }\end{array} \right.[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x,y,z[/tex] - szukane liczby
Ponieważ liczby te są pierwszym, drugim i czwartym wyrazem ciągu arytmetycznego, to można je zapisać jako
[tex]x,\ x+r,\ x+3r[/tex]
gdzie
[tex]x+r=y\\x+3r=z[/tex]
Wiemy, że ich suma to 14, więc
[tex]x+x+r+x+3r=14\\3x+4r=14\\3x=14-4r\ |:3\\x=\frac{14-4r}{3}[/tex]
Liczby te tworzą ciąg geometryczny, więc z tw. o sąsiadach mamy
[tex](x+r)^2=x(x+3r)\\x^2+2xr+r^2=x^2+3xr\\x^2+2xr+r^2-x^2-3xr=0\\r^2-xr=0[/tex]
Podstawiam x wyznaczony z warunku na sumę.
[tex]r^2-\frac{14-4r}{3}*r=0\ |*3\\3r^2-(14-4r)*r=0\\3r^2-14r+4r^2=0\\7r^2-14r=0\ |:7\\r^2-2r=0\\r(r-2)=0\\r=0\vee r-2=0\\r=0\vee r=2[/tex]
Są dwie opcje dla r.
Policzmy x w obu przypadkach.
[tex]\left \{ {{r=0} \atop {x=\frac{14-4*0}{3}}} \right. \vee\left \{ {{r=2} \atop {x=\frac{14-4*2}{3}}} \right.\\\left \{ {{r=0} \atop {x=\frac{14}{3}}} \right. \vee\left \{ {{r=2} \atop {x=\frac{6}{3}}} \right.\\\left \{ {{r=0} \atop {x=4\frac{2}{3}} \right. \vee\left \{ {{r=2} \atop {x=2}} \right.[/tex]
Policzmy x, y i z.
[tex]\left\{ \begin{array}{lll}x=4\frac{2}{3} \\ y=4\frac{2}{3} \\ z=4\frac{2}{3} }\end{array} \right.\vee \left\{ \begin{array}{lll}x=2 \\ y=4 \\ z=8 }\end{array} \right.[/tex]
