Rozwiązanie:
[tex]\bold{(a)}[/tex]
[tex]$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{4^n \cdot n^2}{\Big(3-\frac{4}{n}\Big)^{2n}}[/tex]
Niech:
[tex]$a_{n}=\frac{4^n \cdot n^2}{\Big(3-\frac{4}{n}\Big)^{2n}}[/tex]
Mamy:
[tex]$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{4^n \cdot n^2}{\Big(3-\frac{4}{n}\Big)^{2n}}}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n} \cdot \Bigg(\frac{2}{3-\frac{4}{n}}\Bigg)^{2}=1 \cdot 1 \cdot \Big(\frac{2}{3}\Big)^{2}=\frac{4}{9} < 1[/tex]
Na mocy kryterium Cauchy'ego szereg jest zbieżny.
[tex]\bold{(b)}[/tex]
[tex]$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{n^{2}-2}{2-3n}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$\lim_{n \to \infty}\frac{n^{2}-2}{2-3n} =-\infty \neq 0[/tex]
Szereg jest rozbieżny, gdyż nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
[tex]\bold{(c)}[/tex]
[tex]$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{\arctan n}{n+\sqrt{n^{3}}}[/tex]
Zauważmy, że:
[tex]$\frac{\arctan n}{n+\sqrt{n^{3}}}\leq \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{n^{3}}} =\frac{\frac{\pi}{2}}{n^{\frac{3}{2}}}[/tex]
Szereg:
[tex]$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{\frac{\pi}{2} }{n^{\frac{3}{2}}}}[/tex]
jest zbieżny jako szereg Dirichleta dla [tex]$\alpha > 1[/tex]. Na mocy kryterium porównawczego szereg wyjściowy jest zbieżny.
