Odległość środka okręgu wpisanego od wierzchołka kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnej długości 5 cm wynosi [tex]5\sqrt{2-\sqrt{2} } cm[/tex].
Skąd to wiadomo?
Sytuacja opisana w zadaniu przedstawiona została na rysunku w załączniku.
Krok 1
Wiemy, że [tex]|AC|=|AB| = 5 cm[/tex]. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
[tex]a^{2} +b^{2} =c^{2}[/tex], gdzie [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] to przyprostokątne, a [tex]c[/tex] - przeciwprostokątna.
[tex]5^{2} +5^{2} =c^{2} \\25 + 25 = c^{2} \\c^{2} =50\\c=5\sqrt{2}(cm)[/tex]
Taką długość ma [tex]|BC|[/tex].
Krok 2
Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
[tex]r=\frac{a+b-c}{2}[/tex].
Znamy wszystkie długości boków trójkąta ABC, możemy zatem zapisać:
[tex]r=\frac{5+5-5\sqrt{2} }{2} =\frac{10-5\sqrt{2} }{2} =5-2,5\sqrt{2} (cm)[/tex]
Krok 3
[tex]|OD|[/tex], który jest jednocześnie promieniem okręgu wpisanego w trójkąt, jest prostopadły do [tex]|BC|[/tex] i dzieli go na dwie równe części (z uwagi na to, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym). A zatem trójkąt ODC jest trójkątem prostokątnym. Znamy długość boku CD i boku OD. Możemy ponownie wykorzystać twierdzenie Pitagorasa:
[tex](\frac{5\sqrt{2} }{2} )^{2} +(\frac{10-5\sqrt{2} }{2} )^{2} =c^{2} \\\frac{50}{4} +\frac{100-100\sqrt{2}+50 }{4} =c^{2} \\c^{2} =\frac{200-100\sqrt{2} }{4} \\c^{2} =50-25\sqrt{2} \\c^{2} =25(2-\sqrt{2} )\\c=\sqrt{25(2-\sqrt{2})} \\c=5\sqrt{2-\sqrt{2} } (cm)[/tex]
W ten sposób obliczyliśmy odległość środka okręgu wpisanego od wierzchołka kąta ostrego w trójkącie ABC.
#SPJ1
