Odpowiedź:
Rysunek poglądowy w załączniku.
Średnica okręgu wpisanego w romb odpowiada wysokości tego rombu.
Mamy dane długości dwóch przekątnych. Z nich możemy obliczyć długość boku rombu oraz pole rombu.
Długość boku rombu możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
a² + b² = c²
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Przekątne rombu dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości a/2 i b/2.
Podstawiamy:
[tex]x^2=\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\\\\x^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}\\\\x^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}\\\\x=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{4}}\\\\\huge\boxed{x=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}}[/tex]
Pole rombu możemy obliczyć na dwa sposoby:
[tex]P=x\cdot h[/tex]
i
[tex]P=\dfrac{a\cdot b}{2}[/tex]
Czyli
[tex]x\cdot h=\dfrac{a\cdot b}{2}[/tex]
podstawiamy
[tex]\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\cdot h=\dfrac{ab}{2}\qquad|\cdot2\\\\h\sqrt{a^2+b^2}=ab\qquad|:\sqrt{a^2+b^2}\\\\h=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
[tex]d=h\Rightarrow d=\dfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\\\\\blacksquare[/tex]
