Odpowiedź :
1. Piłka wzniesie się na wysokość 4,05m, na wysokości 3m nad ziemią będzie miała prędkość równą [tex]7,7\frac{m}{s}[/tex].
2. Kamień uderzy w ziemię z prędkością [tex]19,7\frac{m}{s}[/tex], wieża ma wysokość 19,45m.
Zadanie 1
W tym zadaniu rozpatrujemy ruch opóźniony pionowy w górę. Opóźnienie w tym ruchu wynosi [tex]a=g=10\frac{m}{s}[/tex], czyli jest równe wartości przyśpieszenia ziemskiego.
Znamy ponadto wartość prędkości początkowej [tex]v_{0}=9\frac{m}{s}[/tex].
a) Wysokość, na jaką wzniesie się piłka, jest równa drodze przebytej przez nią. Policzymy ją ze wzoru
[tex]h=\frac{gt^{2}}{2}[/tex]
gdzie:
- [tex]h[/tex] - szukana wysokość,
- [tex]g[/tex] - opóźnienie w rozpatrywanym ruchu (tutaj wartość przyśpieszenia ziemskiego),
- [tex]t[/tex] - czas trwania ruchu do zatrzymania.
Potrzebujemy jeszcze znaleźć czas od momentu wyrzucenia piłki do jej zatrzymania. Policzymy go ze wzoru:
[tex]t=\frac{v_{0}}{g}[/tex].
[tex]t=\frac{9}{10}=0,9s[/tex]
[tex]h=\frac{10*0,9^{2}}{2}=\frac{10*0,81}{2}=\frac{8,1}{2}=4,05m[/tex]
Zatem piłka wzniesie się na wysokość 4,05m.
b) Aby znaleźć prędkość piłki na wysokości [tex]h=3m[/tex] nad ziemią, musimy najpierw znaleźć czas, jaki upłynął od momentu wyrzucenia piłki do osiągnięcia przez nią podanej wysokości. Przekształcimy tutaj wzór na [tex]h[/tex] z poprzedniego podpunktu.
[tex]h=\frac{gt^{2}}{2}[/tex]
[tex]2h=gt^{2}[/tex]
[tex]\frac{2h}{g}=t^{2}[/tex]
[tex]t=\sqrt{\frac{2h}{g}}[/tex]
Znamy wszystkie potrzebne dane, więc możemy podstawiać do wzoru:
[tex]t=\sqrt{\frac{2*3}{10}}=\sqrt{\frac{6}{10}}=\sqrt{0,6}\approx0,77s[/tex]
Teraz możemy policzyć szukaną prędkość piłki:
[tex]v=gt[/tex]
[tex]v=10*0,77=7,7\frac{m}{s}[/tex]
Zadanie 2
Wypiszmy dane z zadania:
- [tex]g=10\frac{m}{s}[/tex] - przyśpieszenie (rozpatrujemy tutaj ruch przyśpieszony pionowy w doł),
- [tex]v=17\frac{m}{s}[/tex] - prędkość piłki na wysokości [tex]h=5m[/tex] nad ziemią.
Aby znaleźć prędkości kamienia, z jaką uderzy on w ziemię, musimy znać czas trwania ruchu oraz wysokość wieży. Oznaczmy drogę, jaką przebył kamień do osiągnięcia prędkości [tex]v=17\frac{m}{s}[/tex], jako [tex]x[/tex].
Musimy znaleźć równanie, z którego policzymy tą drogę. Rozpatrzmy dwa wzory, które przekształcimy.
[tex]v=gt[/tex]
Wyznaczymy z niego [tex]t[/tex]: [tex]t=\frac{v}{g}[/tex].
Ze wzoru na drogę [tex]x[/tex]: [tex]x=\frac{gt^{2}}{2}[/tex] również możemy wyznaczyć tę samą wartość [tex]t[/tex]: [tex]t=\sqrt{\frac{2x}{g}}[/tex].
Te równania mają taką samą wartość po lewej stronie, zatem możemy przyrównać ich prawe strony do siebie i otrzymamy
[tex]\frac{v}{g}=\sqrt{\frac{2x}{g}}[/tex].
Po przekształceniach dostaniemy wzór na [tex]x[/tex]:
[tex]x=\frac{v^{2}}{2g}[/tex].
Możemy do niego podstawić znane dane na przyśpieszenie kamienia i jego prędkość podane w zadaniu.
[tex]x=\frac{17^{2}}{2*10}=\frac{289}{20}=14,45m[/tex]
Otrzymaliśmy drogę, jaką przebył kamień do osiągnięcia prędkości [tex]v=17\frac{m}{s}[/tex]. Zatem wysokość wieży będzie równa:
[tex]h_{w}=x+h=14,45+5=19,45m[/tex].
Policzymy teraz czas [tex]t_c[/tex] spadania kamienia, od momentu wyrzucenia do uderzenia w ziemię:
[tex]t_c=\sqrt{\frac{2h_w}{g}}=\sqrt{\frac{2*19,45}{10}}=\sqrt{3,89}\approx1,97s[/tex].
Zatem prędkość, z jaką kamień uderzy w ziemię, wynosi:
[tex]v_k=gt=10*1,97=19,7\frac{m}{s}[/tex].
