Zadanie 1.
[tex]\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{4}\qquad \alpha\in(270^\circ,360^\circ)[/tex]
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\sin^2\alpha+(\frac{\sqrt3}{4})^2=1\\\sin^2\alpha+\frac{3}{16}=1\\\sin^2\alpha=\frac{13}{16}\\\sin\alpha=\sqrt{\frac{13}{16}}\vee\sin\alpha=-\sqrt{\frac{13}{16}}\\\sin\alpha=\frac{\sqrt{13}}{4}\vee\sin\alpha=-\frac{\sqrt{13}}{4}[/tex]
Ponieważ [tex]\alpha\in(270^\circ,360^\circ)[/tex], a tam sinus jest ujemny, więc
[tex]\sin\alpha=-\frac{\sqrt{13}}{4}[/tex]
Policzmy pozostałe funkcje.
[tex]\text{tg }\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{\sqrt{13}}{4}}{\frac{\sqrt3}{4}}=-\frac{\sqrt{13}}{4}*\frac{4}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt{13}}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=-\frac{\sqrt{39}}{3}\\\text{ctg }\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{-\sqrt{13}}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{4}*(-\frac{4}{\sqrt{13}})=-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}*\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=-\frac{\sqrt{39}}{13}[/tex]
Zadanie 2.
[tex]\text{tg }\alpha=-2[/tex]
Wyznaczmy cotangens.
[tex]\text{ctg }\alpha=\frac{1}{\text{tg }\alpha}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}[/tex]
Wyznaczmy pozostałe funkcje ze związku między tangensem a sinusem i cosinusem oraz z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\text{tg }\alpha=-2\\\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-2\ |*\cos\alpha\\\sin\alpha=-2\cos\alpha\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\(-2\cos\alpha)^2+\cos^2\alpha=1\\4\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\5\cos^2\alpha=1\ |:5\\\cos^2\alpha=\frac{1}{5}\\\cos\alpha=\sqrt{\frac{1}{5}}\vee \cos\alpha=-\sqrt{\frac{1}{5}}\\\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\vee \cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\\\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\vee \cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}[/tex]
Ponieważ nie ma informacji, w której ćwiartce jest kąt alfa, więc mamy 2 przypadki:
1) [tex]\alpha\in(90^\circ,180^\circ)[/tex]
[tex]\cos\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}\\\sin\alpha=-2*(-\frac{\sqrt5}{5})=\frac{2\sqrt5}{5}[/tex]
2) [tex]\alpha\in(270^\circ,360^\circ)[/tex]
[tex]\cos\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\\\sin\alpha=-2*\frac{\sqrt5}{5}=-\frac{2\sqrt5}{5}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]\frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x}=1-2\sin^2x\\L=\frac{1-\text{tg}^2x}{1+\text{tg}^2x}=\frac{1-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{1+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\frac{\frac{\cos^2x}{\cos^2x}-\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\cos^2x}{\cos^2x}+\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\frac{\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}}{\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x}*\frac{\cos^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\\=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{\cos^2x+\sin^2x}=\frac{\cos^2x-\sin^2x}{1}=\cos^2x-\sin^2x=1-\sin^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=\\=P[/tex]
