Odpowiedź :
III prawo Keplera oraz rola siły dośrodkowej w ruchu planet
Posiadając dane z zadania możemy stwierdzić, że masa Słońca jest większa od masy ziemi około 330tys razy.
Na początku warto przypomnieć sobie treść III prawa Keplera i wzór jaki z tego prawa wynika: "Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu":
[tex]\frac{T^{2} }{a^{3} } =const[/tex]
Jednak aby rozwiązać to zadanie należy znaleźć stałą dla III prawa Keplera. Aby to zrobić musimy przyjąć, że satelity poruszają się po okręgach, wielkie półosie są promieniami tych okręgów, a ten ruch jest powodowany siłą dośrodkową w postaci siły grawitacji.
[tex]F=\frac{GMm}{r^{2} }[/tex] - siła grawitacji
[tex]F=\frac{mv^{2} }{r}[/tex] - siła dośrodkowa
Przyrównując te dwie siły do siebie i skracając co się da, dostajemy:
[tex]\frac{GM}{r} = v^{2}[/tex]
Teraz aby "pozbyć się" nieznanej nam prędkości korzystamy z zależności pomiędzy prędkością liniową a prędkością kątową oraz definicją prędkości kątowej:
v=ω*r
ω[tex]=\frac{2\pi }{T}[/tex]
Wstawiając to do wzoru powyżej dostajemy:
[tex]\frac{GM}{r^{3} } =\frac{4\pi ^{2} }{T^{2} }[/tex]
A zamieniając lekko równanie stronami otrzymujemy finalnie:
[tex]\frac{T^{2} }{r^{3} } =\frac{4\pi^{2} }{GM} =const[/tex]
Znaleźliśmy naszą stałą dla III prawa Keplera więc możemy obliczyć "m" dla ziemi i danych z księżyca oraz "M" dla Słońca i danych z np. Ziemi ponieważ tam znamy z życia codziennego te wartości (obieg ziemi wokół Słońca to 1 rok, a odległość można odczytać z tablic fizycznych).
m dla ziemi, korzystając z danych do zadania:
[tex]m=\frac{4\pi ^{2}r^{3} }{GT^{2} } = \frac{4*3,14 ^{2} *384000000^{3} }{6,67*10^{-11}*(27,3*24*3600)^{2} } = 6*10^{24} kg[/tex]
M dla słońca, korzystając z danych takich, że obieg ziemi wokół słońca to 365 dni a odległość ziemi od słońca to 150mln km:
[tex]M=\frac{4\pi^{2}r^{3} }{GT^{2} } = \frac{4*3,14^{2}*(150*10^{9} )^{3} }{6,67*10^{-11} *(365*24*3600)^{2} } = 2*10^{30} kg[/tex]
Porównując te dwie wartości dostajemy, że Słońce jest cięższe od ziemi około:
[tex]\frac{M}{m} = \frac{2*10^{30} }{6*10^{24} } = 333333[/tex]
Można tą liczbę zaokrąglić i podsumować, że Słońce jest cięższe od ziemi 330tys razy.
