Rozwiązanie:
Zadanie [tex]\bold{1.}[/tex]
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy[/tex]
Obszar w załączniku.
Zapis obszaru:
[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq \sqrt{x} \wedge y\leq -x+2\}[/tex]
Zauważmy, że rozważany obszar jest regularny względem osi [tex]OX[/tex], tak więc podzielimy go na dwa obszary normalne:
[tex]D_{1}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq \sqrt{x} \wedge 0\leq x\leq 1\}[/tex]
[tex]D_{2}=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: 0\leq y\leq -x+2 \wedge 1\leq x\leq 2\}[/tex]
Zatem:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy=\iint\limits^{}_{D_{1}}2ydxdy+\iint\limits^{}_{D_{2}}2ydxdy=I_{1}+I_{2}[/tex]
[tex]$I_{1}=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\int \limits^{\sqrt{x}}_{0} 2y dy\Bigg)dx=\int\limits^{1}_{0}y^{2} \Bigg|^{\sqrt{x}}_{0}dx=\int\limits^{1}_{0}x \ dx=\frac{x^{2}}{2} \Bigg|^{1}_{0}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$I_{2}=\int \limits^{2}_{1}\Bigg(\int \limits^{-x+2}_{0}2ydy\Bigg)dx=\int \limits^{2}_{1} y^{2} \Bigg|^{-x+2}_{0}dx=\int\limits^{2}_{1} x^{2}-4x+4 \ dx=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+4x \Bigg|^{2}_{1}=[/tex]
[tex]$=\frac{8}{3}-\frac{7}{3}=\frac{1}{3}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}2ydxdy=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}[/tex]
Zadanie [tex]\bold{2.}[/tex]
Objętość:
[tex]$\iiint\limits^{}_{V}dxdydz[/tex]
Możemy łatwo przejść na całkę podwójną, wprowadzamy obszar całkowania na płaszczyźnie kartezjańskiej:
[tex]$D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \leq 9\}[/tex]
Obszar [tex]D[/tex] powstał z ograniczenia płaszczyzny [tex]z=0[/tex] walcem [tex]x^{2}+y^{2}=9[/tex].
Przechodzimy na całkę podwójną:
[tex]$\iiint\limits^{}_{V}dxdydz=\iint\limits^{}_{D} \Bigg(\int \limits^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}_{0}dz\Bigg)dxdy=\iint\limits^{}_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy[/tex]
Wprowadzamy współrzędne biegunowe:
[tex]$\left \{ {{x=r \cos \varphi \atop {y=r \sin \varphi}} \right.[/tex]
gdzie:
[tex]0\leq r\leq 3[/tex]
[tex]0\leq \varphi\leq 2\pi[/tex]
[tex]J(r,\varphi)=r[/tex]
Zatem:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy=\int \limits^{3}_{0}\Bigg(\int \limits^{2\pi}_{0}\sqrt{r^{2}\cos^{2} \varphi + r^{2}\sin^{2} \varphi} \cdot r \ d\varphi\Bigg)dr=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{3}_{0}\Bigg(\int\limits^{2\pi}_{0} r^{2} \ d \varphi\Bigg)dr=2\pi \int \limits^{3}_{0}r^{2} \ dr=2\pi \cdot \frac{r^{3}}{3}\Bigg|^{3}_{0}=18\pi[/tex]
Zadanie [tex]\bold3.{}[/tex]
Równanie:
[tex]$5x(e^{y}+1)-5e^{y}y'=0[/tex]
Rozdzielamy zmienne:
[tex]$5x(e^{y}+1)-5e^{y} \cdot \frac{dy}{dx}=0[/tex]
[tex]$\frac{dy}{dx}=\frac{5x(e^{y}+1)_}{5e^{y}}[/tex]
[tex]$\frac{e^{y} dy}{e^{y}+1}=x \ dx[/tex]
Całkujemy:
[tex]$\int \frac{e^{y}dy}{e^{y}+1}=\int x \ dx[/tex]
[tex]$\ln(e^{y}+1)=\frac{x^{2}}{2}+C[/tex]
Rozwiązanie ogólne już mamy, wyznaczamy jeszcze [tex]y[/tex] :
[tex]$e^{y}+1=e^{\frac{x^{2}}{2}+C}[/tex]
[tex]e^{y}=e^{\frac{x^{2}}{2}+C}-1[/tex]
[tex]$y=\ln \Big(e^{\frac{x^{2}}{2}+C}\Big)-1 \ , \ C \in \mathbb{R}[/tex]
