Witaj :)
Naszym zadaniem jest przedstawienie trójmianów kwadratowych zapisanych w postaci ogólnej w postaci iloczynowej.
Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej przyjmuje następującą postać:
[tex]\Large \boxed{y=ax^2+bx+c,\ gdzie \ a,b,c\in \mathbb R\ \ \wedge \ \ a\neq 0}[/tex]
To, jak będzie wyglądać postać iloczynowa trójmianu kwadratowego jest zależne od znaku wyróżnika tego trójmianu (delty). Możemy mieć następujące przypadki:
W przypadku, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest większy od 0 (dodatni), wówczas funkcja przyjmuje dwa miejsca zerowe w zbiorze liczb rzeczywistych, a postać iloczynowa wygląda następująco:
[tex]y=a(x-x_1)(x-x_2), \ gdzie\ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ \wedge \ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\ \wedge\ \Delta=b^2-4ac[/tex]
W przypadku, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest równy 0, wówczas funkcja przyjmuje jedno miejsce zerowe w zbiorze liczb rzeczywistych, a postać iloczynowa wygląda następująco:
[tex]y=a(x-x_0)^2, \ gdzie:\ x_0=\frac{-b}{2a}[/tex]
W przypadku, gdy wyróżnik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od 0 (ujemny), wówczas funkcja nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych i nie można jej przedstawić w postaci iloczynowej.
Podpunkt a
[tex]y=2x^2-5x+2\\\\a=2\\b=-5\\c=2[/tex]
- Obliczam wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego
[tex]\Delta =(-5)^2-4\cdot 2\cdot 2=25-16=9 > 0[/tex]
Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest większy od 0, funkcja posiada dwa miejsca zerowe w zbiorze liczb rzeczywistych.
[tex]x_1=\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot 2} =\frac{5+3}{4}=\frac{8}{4}=2\\ \\ x_2=\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot 2} =\frac{5-3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}[/tex]
- Zapisuję postać iloczynową funkcji
[tex]y=2(x-2)(x-\frac{1}{2})[/tex]
Odpowiedź.: Postać iloczynowa wygląda następująco
[tex]\Large \boxed{y=2(x-2)\Big(x-\frac{1}{2}\Big)}[/tex]
Podpunkt b
[tex]y=-x^2-2\sqrt{3}x+1\\\\a=-1\\b=-2\sqrt{3}\\c=1[/tex]
- Obliczam wartość wyróżnika trójmianu kwadratowego
[tex]\Delta =(-2\sqrt{3})^2-4\cdot (-1)\cdot (1)=12+4=16 > 0[/tex]
[tex]x_1=\frac{-(-2\sqrt{3})+\sqrt{16}}{2\cdot (-1)} =\frac{2\sqrt{3}+4}{-2}=-\sqrt{3}-2\\ \\x_1=\frac{-(-2\sqrt{3})-\sqrt{16}}{2\cdot (-1)} =\frac{2\sqrt{3}-4}{-2}=-\sqrt{3}+2[/tex]
- Zapisuję postać iloczynową funkcji
[tex]y=-(x-[-\sqrt{3}-2])(x-[-\sqrt{3}+2])\\y=-(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)[/tex]
Odpowiedź.: Postać iloczynowa wygląda następująco
[tex]\Large \boxed{y=-(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)}[/tex]
