[tex]P=6[/tex]
Dane:
[tex]y=x^2-6x+11\\y=-2x+11[/tex]
Szukane:
pole trójkąta, który powstanie z wierzchołka funkcji y=x²-6x+11 oraz punktów przecięcia tej funkcji z funkcją y=-2x+11
Rozwiązanie:
Pierwszym krokiem będzie wyliczenie współrzędnych wierzchołka funkcji y=x²-6x+11.
[tex]y=x^2-6x+11\\W_1=(p,q)\\p=-\frac{b}{2a} \\p=-\frac{-6}{2}\\p=3\\q=-\frac{b^2-4ac}{4a}\\ q=-\frac{(-6)^2-4*1*11}{4}\\q=-\frac{36-44}{4}\\q=2\\W_1=(3,2)[/tex]
Teraz wyliczony wierzchołek paraboli oznaczymy sobie jako punkt C.
[tex]W_1=C\\C=(3,2)[/tex]
Następnie wyliczymy punkty przecięcia funkcji y=x²-6x+11 z funkcją y=-2x+11. Aby to zrobić, należy przyrównać do siebie obie te funkcje, przez co wyjdzie nam współrzędna x, a następnie trzeba podstawić x do jednego ze wzorów funkcji i wyjdzie nam współrzędna punktu y.
[tex]y=x^2-6x+11\\y=-2x+11\\y=y\\x^2-6x+11=-2x+11\\x^2-6x+11+2x-11=0\\x^2-4x=0\\x(x-4)=0\\x_1=0\\x_2=x-4=0\\x_2=4[/tex]
, zatem:
[tex]y_1=-2x_1+11\\y_1=11\\y_2=-2x_2+11\\y_2=-2*4+11\\y_2=3[/tex]
Teraz poszczególne punkty przecięcia funkcji oznaczymy sobie jako A oraz B.
[tex]A=(x_1,y_1)\\A=(0,11)\\B=(x_2,y_2)\\B=(4,3)[/tex]
Ostatnim krokiem będzie wyliczenie pola trójkąta korzystając z poniższego wzoru.
[tex]P=\frac{1}{2} |(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)|\\P=\frac{1}{2} |(4-0)(2-11)-(3-11)(3-0)|\\P=\frac{1}{2} |4*(-9)-(-8)*3|\\P=\frac{1}{2} |-36-(-24)|\\P=\frac{1}{2} |-36+24|\\P=\frac{1}{2}|-12|\\P=\frac{1}{2}*12\\P=6[/tex]
