Zadanie 4.
b)
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}*\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{x+2-x+2}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}{4}=[\frac{\infty}{4}]=\infty[/tex]
c)
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}(\sqrt{x^2+1}-x)*\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}=[\frac{1}{\infty}]=0[/tex]
Zadanie 6.
e)
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-1}}[/tex]
Dziedziną tej funkcji jest [tex]D_f=\left < 4,+\infty\right)[/tex], więc wystarczy zbadać granicę w [tex]+\infty[/tex].
[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{x-4}{x-1}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{x-1-3}{x-1}}=\\=\lim_{x\rightarrow\infty}\sqrt{1-\underbrace{\frac{3}{x-1}}_{\rightarrow0}}=1[/tex]
Zatem asymptotą poziomą prawostronną jest prosta
[tex]y=1[/tex]
f)
[tex]f(x)=\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{3-x}}[/tex]
Dziedziną tej funkcji jest [tex]D_f=\left (-\infty,3)[/tex], więc wystarczy zbadać granicę w [tex]-\infty[/tex].
[tex]\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\sqrt{4-x}}{\sqrt{3-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{\frac{4-x}{3-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{\frac{3-x+1}{3-x}}=\\=\lim_{x\rightarrow-\infty}\sqrt{1+\underbrace{\frac{1}{3-x}}_{\rightarrow0}}=1[/tex]
Zatem asymptotą poziomą lewostronną jest prosta
[tex]y=1[/tex]
