Postać kanoniczna i postać biegunowa (trygonometryczna) liczby zespolonej.
Zbiór liczb zespolonych oznaczamy [tex]\mathbb{C}[/tex].
Postać kanoniczna liczby zespolonej:
[tex]z=a+bi\qquad a,b\in\mathbb{R}[/tex]
[tex]a[/tex] - część rzeczywista (ozn. [tex]Re(z)[/tex])
[tex]b[/tex] - część urojona (ozn. [tex]Im(z)[/tex])
[tex]i[/tex] - jednostka urojona ([tex]i^2=-1}[/tex])
Każdą liczbę zespoloną z możemy przedstawić na płaszczyźnie zespolonej. Taką płaszczyznę możemy porównać do układu współrzędnych, gdzie na osi poziomej odczytujemy część rzeczywistą liczby z, a na osi pionowej - część zespoloną. Punkt utworzony przez te dwie współrzędne wyznacza nam szukaną liczbę z. (W dziedzinie rzeczywistej liczby zaznaczamy tylko na jednej osi liczbowej. Tutaj mamy już dwuwymiarowy układ - rysunek).
Postać trygonometryczna (biegunowa) liczby zespolonej:
[tex]z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi)[/tex]
[tex]|z|=\sqrt{a^2+b^}[/tex] - moduł liczby [tex]z[/tex]
[tex]\varphi[/tex] - jest pokazany na rysunku i nazywamy argumentem liczby [tex]z[/tex] (ozn. [tex]arg(z)=\varphi[/tex]).
[tex]\cos\varphi=\dfrac{a}{|z|},\ \sin\varphi=\dfrac{b}{|z|}[/tex]
PRZYKŁAD:
Mamy liczbę zespoloną w postaci kanonicznej:
[tex]z=\sqrt3+i[/tex]
Przedstawimy ją w postaci trygonometrycznej.
[tex]a=\sqrt3,\ b=1[/tex]
Zaznaczamy liczbę w układzie współrzędnych (załącznik).
Obliczamy moduł
[tex]|z|=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt{3+1}=\sqrt4=2[/tex]
Obliczamy argument:
[tex]\sin\varphi=\dfrac{1}{2}[/tex]
Kąt znajduje się w pierwszej ćwiartce, zatem
[tex]\varphi=30^o=\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow arg(z)=\dfrac{\pi}{6}[/tex]
Teraz zapisujemy postać trygonometryczną, podstawiając do wzoru wyliczone wartości:
[tex]\huge\boxed{z=2\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)}[/tex]
