Odpowiedź:
Objętość V = (1/3)Pp•H = (1/3)•432•6 = 864 (jednostek długości)³
Pole całkowite
Pc = Pp + Pb = Pp + 4P = 432 + 4•72√3 = 432 + 288√3 = 144(3 + 2√3)
(jednostek długości)²
Szczegółowe wyjaśnienie:
(ilustracja do zadania - załącznik)
Dane:
- Wysokość ostrosłupa H = 6,
- wysokości przeciwległych ścian bocznych h tworzą kąt 120º.
Obliczyć: Objętość V i pole całkowite Pc.
Jeżeli w nazwie ostrosłupa czy graniastosłupa występuje "prawidłowy",
to oznacza, że podstawą jest wielokąt foremny (równoboczny) - w naszym przypadku podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku a.
Spodkiem wysokości ostrosłupa H jest środek kwadratu 0, to:
Wysokość ostrosłupa H, wysokość ściany bocznej h (ściany boczne są trójkątami równoramiennymi) oraz odcinek równy połowie boku kwadratu a/2, łączący środek kwadratu z wysokością h:
- tworzą trójkąt prostokątny o kącie przy wierzchołku ostrosłupa
120º/2 = 60º i przy podstawie 30º.
Z funkcji trygonometrycznych wyznaczymy potrzebne wielkości:
H/h = sin 30º = 1/2 [napiszemy tą równość jako odwrotności ułamków]
to h/H = 2/1 = 2 /•H to h = 2H = 2• 6 = 12, to
- wysokość ściany bocznej h = 12,
(a/2)/H = tg 60º = √3 /•H to a/2 = H√3 = 6√3 /•2 to a = 12√3
- bok kwadratu (podstawy) a = 12√3
Objętość ostrosłupa V obliczamy z jednej trzeciej (1/3) iloczynu pola podstawy (Pp = a² = (12√3)² = 144•3 = 432) i wysokości H:
to: Odpowiedź:
Objętość V = (1/3)Pp•H = (1/3)•432•6 = 864 (jednostek długości)³
Na pole powierzchni całkowitej Pc składają się:
- Pole podstawy Pp = a² = (12√3)² = 144•3 = 432,
- Pole powierzchni bocznej Pb - cztery ściany boczne (trójkąty
równoramienne o podstawie a = 12√3 i wysokości h = 12,
pole trójkąta P = ah/2 = (12√3)•12/2 = 72√3),
to: Odpowiedź:
Pole całkowite
Pc = Pp + Pb = Pp + 4P = 432 + 4•72√3 = 432 + 288√3 = 144(3 + 2√3)
(jednostek długości)²
