Odpowiedź:
Należy oddać przynajmniej sześć strzałów aby prawdopodobieństwo trafienia dziesiątki przynajmniej raz było nie mniejsze niż 0,9
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zamiast liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia trafienia dziesiątki co najmniej raz, łatwiej jest policzyć prawdopodobieństwo zdarzania przeciwnego (nie trafił ani razu) i odjąć je od jedynki.
Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi:
[tex]q=1-p=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}[/tex]
Dla [tex]x[/tex] strzałów prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej raz, będzie równe:
[tex]1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x[/tex]
Wartość ta musi być większa lub równa [tex]\text{0,9}[/tex], więc:
[tex]1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\geq \text{0,9}\\\\\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\leq\text{0,1}\\\\\log\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\leq\log\text{0,1}\\\\x\log\left(\dfrac{2}{3}\right)\leq -1\\\\x(\log 2-\log 3)\leq -1\\\\x \geq\dfrac{-1}{\log 2-\log 3}\\\\x\geq\dfrac{1}{\log 3-\log 2}\\\\x\geq \text{5,68}[/tex]
Ponieważ liczba strzałów jest wartością całkowitą, odpowiedzią jest 6.