Odpowiedź + Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja kwadratowa:
postać ogólna:
f(x) = ax² + bx + c
postać kanoniczna:
f(x) = a(x - p)² + q
(p, q) - współrzędne wierzchołka
p = -b/2a, q = f(p) = -Δ/4a
postać iloczynowa:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
x₁, x₂ - miejsca zerowe funkcji
oś symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji:
x = p
zbiór wartości funkcji:
jeżeli a < 0, to ZW = (-∞, q>
jeżeli a > 0, to ZW = <q, ∞)
monotoniczność funkcji:
jeżeli a < 0, to
funkcja jest rosnąca dla x ∈ (-∞, p)
funkcja jest malejąca, dla x ∈ (p, ∞)
jeżeli a > 0, to
funkcja jest malejąca dla x ∈ (-∞, p)
funkcja jest rosnąca, dla x ∈ (p, ∞)
Mamy funkcję w postaci kanonicznej:
f(x) = 3(x + 4)² - 7
możemy odczytać:
a = 3
p = 4
q = -7
Rozwijamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
f(x) = 3(x² + 2 · x · 4 + 4²) - 7
f(x) = 3(x² + 8x + 16) - 7
f(x) = 3x² + 24x + 48 - 7
f(x) = 3x² + 24x + 41
Miejsce zerowe funkcji jest to argument (x), dla którego wartość funkcji (y) jest równa 0.
Przyrównujemy wzór funkcji do 0:
3x² + 24x+ 41 = 0
Rozwiążemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego (Δ):
Δ = b² - 4ac
Δ = 24² - 4 · 3 · 41 = 576 - 492 = 84
√Δ = √84 = √(4 ·21) = 2√21
x₁ = (-b - √Δ)/(2a), x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
x₁ = (-24 - 2√21)/(2 · 3) = (-24 - 2√21)/6 = (-12 - √21)/3
x₂ = (-24 + 2√21)/(2 · 3) = (-24 + 2√21)/6 = (-12 + √21)/3
miejsca zerowe:
x₁ = (-12 - √21)/3
x₂ = (-12 + √21)/3
postać iloczynowa:
f(x) = 3(x + (12 + √21)/3)(x + (12 - √21)/3)
oś symetrii:
x = -4
monotoniczność funkcji:
a = 3 > 0
f. malejąca dla x ∈ (-∞, -4)
f. rosnąca, dla x ∈ (-4, ∞)
Zbiór wartości funkcji:
ZW = <-7, ∞)
