a)
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
[tex]|AB|=\sqrt{(5-1)^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}[/tex]
[tex]|AC|=\sqrt{(-3-1)^2+(4-(-4))^2}=\sqrt{(-4)^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}[/tex]
[tex]|BC|=\sqrt{(-3-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{(-8)^2+2^2}=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}[/tex]
[tex]L=2\sqrt{13}+4\sqrt{5}+2\sqrt{17}[/tex]
b)
[tex]S_{BC}=\left(\dfrac{x_B+x_C}{2},\dfrac{y_B+y_C}{2}\right)[/tex]
[tex]S_{BC}=\left(\dfrac{5-3}{2},\dfrac{2+4}{2}\right)=\left(\dfrac{2}{2},\dfrac{6}{2}\right)=\left(1,3\right)[/tex]
c)
[tex]|AB| < |BC| < |AC|[/tex]
[tex]|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2\\\left(\sqrt{52}\right)^2+\left(\sqrt{68}\right)^2=\left(\sqrt{80}\right)^2\\52+68=80\\120=80\\\mbox{sprzeczne}[/tex]
Trójkąt nie jest prostokątny.
d)
Punkt E jest środkiem boku AB czyli punktem [tex]S_{BC}[/tex]:
[tex](y-y_A)(x_E-x_A)=(x-x_A)(y_E-y_A)[/tex]
[tex](y+4)(1-1)=(x-1)(3+4)\\(y+4)0=(x-1)7\\0=7x-7\\-7x=-7\quad|:(-7)\\x=1[/tex]
e)
Prosta BC:
[tex](y-y_B)(x_C-x_B)=(x-x_B)(y_C-y_B)[/tex]
[tex](y-2)(-3-5)=(x-5)(4-2)\\(y-2)(-8)=(x-5)2\\-8y+16=2x-10\\-8y=2x-26\quad|:(-8)\\y=-\frac{1}{4}x+\frac{13}{4}[/tex]
Symetralna to prosta prostopadła do prostej BC przechodząca przez punkt [tex]S_{BC}[/tex]:
[tex]a=-\dfrac{1}{-\frac{1}{4}}=4[/tex]
[tex]x=1\\y=3[/tex]
[tex]y=ax+b\\3=4\cdot1+b\\3=4+b\\-1=b[/tex]
[tex]y=4x-1[/tex]