Odpowiedź :
Do szukanej osi symetrii musi należeć punkt przecięcia się prostych. Znajdźmy ten punkt.
[tex]\left \{ {{x+y-3=0} \atop {7x-y+4=0}} \right. \\\left \{ {{x+y=3} \atop {7x-y=-4}} \right. |+\\\left \{ {{8x=-1\ |:8} \atop {x+y=3}} \right. \\\left \{ {{x=-\frac{1}{8}} \atop {-\frac{1}{8}+y=3}} \right. \\\left \{ {{x=-\frac{1}{8}} \atop {y=3\frac{1}{8} }} \right.[/tex]
Szukany punkt to [tex](-\frac{1}{8},3\frac{1}{8})[/tex].
Szukana oś symetrii ma postać kierunkową:
[tex]y=ax+b[/tex]
Skoro przechodzi ona przez wyznaczony wcześniej punkt, to
[tex]3\frac{1}{8}=a*(-\frac{1}{8})+b\\3\frac{1}{8}=-\frac{1}{8}a+b\\b=3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a\\y=ax+3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a[/tex]
Zatem dowolny punkt należący do tej prostej można zapisać jako
[tex](x,ax+3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a)[/tex]
Parametr a wyznaczymy z faktu, że punkty należące do osi symetrii muszą być równo odległe od obu danych prostych. Zatem
[tex]\frac{|x+ax+3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|7x-ax-3\frac{1}{8}-\frac{1}{8}a+4|}{\sqrt{7^2+(-1)^2}}\\\frac{|(1+a)x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a|}{\sqrt{2}}=\frac{|(7-a)x+\frac{7}{8}-\frac{1}{8}a|}{\sqrt{50}}\ |*\sqrt{50}\\5*|(1+a)x+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}a|=|(7-a)x+\frac{7}{8}-\frac{1}{8}a|\\|(5+5a)x+\frac{5}{8}+\frac{5}{8}a|=|(7-a)x+\frac{7}{8}-\frac{1}{8}a|[/tex]
[tex](5+5a)x+\frac{5}{8}+\frac{5}{8}a=(7-a)x+\frac{7}{8}-\frac{1}{8}a\ \vee\ (5+5a)x+\frac{5}{8}+\frac{5}{8}a=-(7-a)x-\frac{7}{8}+\frac{1}{8}a[/tex]
Skoro powyższe równania mają być spełnione dla każdego x, więc
[tex]5+5a=7-a\ \vee\ 5+5a=-7+a\\6a=2\ |:6\ \vee\ 4a=-12\ |:4\\a=\frac{1}{3}\ \vee\ a=-3[/tex]
Zatem szukane proste to
[tex]y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}*\frac{1}{3}\ \vee\ y=-3x+3\frac{1}{8}+\frac{1}{8}*(-3)\\y=\frac{1}{3}x+3\frac{1}{8}+\frac{1}{24}\ |*24\ \vee\ y=-3x+3\frac{1}{8}-\frac{3}{8}\ |*8\\24y=8x+75+1\ \vee\ 8y=-24x+25-3\\8x-24y+76=0\ |:4\ \vee\ 24x+8y-22=0\ |:2\\2x-6y+19=0\ \vee\ 12x+4y-11=0[/tex]
