Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{25}{16}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początku określamy dziedzinę równania:
[tex]\mathbb{D}:\\\\x+\sqrt{x} > 0\ \wedge\ x-\sqrt{x}\geq0\ \wedge\ x\geq0\Rightarrow x\geq1\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x > 1}[/tex]
[tex]\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\dfrac{3}{2}\sqrt{\dfrac{x}{x+\sqrt{x}}}\\\\\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\dfrac{3\sqrt{{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}\qquad|\cdot2\sqrt{x+\sqrt{x}}\neq0\\\\2\left(\sqrt{x+\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x+\sqrt{x}}\cdot\sqrt{x+\sqrt{x}}=3\sqrt{x}[/tex]
[tex]2\left(x+\sqrt{x}\right)-2\sqrt{(x+\sqrt{x})(x-\sqrt{x})}=3\sqrt{x}[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
a² - b² = (a - b)(a + b)
[tex]2x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x^2-(\sqrt{x})^2}=3\sqrt{x}\qquad|-3\sqrt{x}\\\\2x-\sqrt{x}-2\sqrt{x^2-x}=0\\\\2\left(\sqrt{x}\right)^2-\sqrt{x}-2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x-1}=0\\\\\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1-2\sqrt{x-1}\right)=0\iff\sqrt{x}=0\ \vee\ 2\sqrt{x}-1-2\sqrt{x-1}=0\\\\x=0\notin\mathbb{D}\ \vee\ 2\sqrt{x}-1=2\sqrt{x-1}\qquad|()^2\\\\\left(2\sqrt{x}-1\right)^2=\left(2\sqrt{x-1}\right)^2[/tex]
skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2zb + b²
[tex](2\sqrt{x})^2-2\cdot2\sqrt{x}\cdot1+1^2=4(x-1)}\\\\4x-4\sqrt{x}+1=4x-4\qquad|-4x\\\\-4\sqrt{x}+1=-4\qquad|-1\\\\-4\sqrt{x}=-5\qquad|:(-4)\\\\\sqrt{x}=\dfrac{5}{4}\Rightarrow x=\dfrac{25}{16}\in\mathbb{D}[/tex]
