Jak do tego dojsc?
Wiemy ze jesli rozwiazaniami wielomianu sa liczby -2 i 3, to mozemy wielomian zapisac w postaci iloczynowej:
(x+2)(x-3)
Po przemnozeniu nawiasow uzyskujemy postac:
x^2-x-6
Aby wyraz wolny -6 zamienic na 1, nalezy calosc przemnozyc przez (-1/6)
Wtedy nasz wielomian bedzie mial postac:
[tex]f(x)=-\frac16(x+2)(x-3)\\f(x)=-\frac16(x^2-3x+2x-6)\\f(x)=-\frac16(x^2-x-6)\\f(x)=-\frac16x^2+\frac16x+1[/tex]
Jest to oczywiscie wielomian drugiego stopnia, poniewaz mamy x do potegi 2.
b)
Zwykle wielomiany 4 stopnia maja 4 rozwiazania. Dodatkowo potrzebujemy takiego wyrazenia, ktore po przemnozeniu przez x^2 da nam x^4 oraz nie bedzie mialo rozwiazan.
Takim wyrazeniem jest x^2+1, poniewaz:
x^2+1=0
x^2=-1
Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
[tex]f(x)=-\frac16(x+2)(x-3)(x^2+1)\\f(x)=-\frac16(x^2-x-6)(x^2+1)\\f(x)=-\frac16(x^4+x^2-x^3-x-6x^2-6)\\f(x)=-\frac16(x^4-x^3-5x^2-x-6)\\f(x)=-\frac16x^4+\frac16x^3+\frac56x^2+\frac16x+1[/tex]
c)
Ponownie korzystamy z wyrazenia kwadratowego bez rozwiazan oraz kazde z naszych wyrazen podnosimy do potegi.
Po przemnozeniu nawiasow, nasz wyraz wolny bedzie rowny:
2^2*(-3)^2*1=4*9=36
Zatem cale wyrazenie musimy przemnozyc przez 1/36 aby wyraz wolny byl rowny 1.
[tex]f(x)=\frac1{36}(x+2)^2(x-3)^2(x^2+1)\\f(x)=\frac1{36}(x^6-2x^5-10x^4+10x^3+25x^2+12x+36)\\f(x)=\frac1{36}x^6-\frac2{36}x^5-\frac{10}{36}x^4+\frac{10}{36}x^3+\frac{25}{36}x^2+\frac{12}{36}x+1\\f(x)=\frac1{36}x^6-\frac1{18}x^5-\frac5{18}x^4+\frac5{18}x^3+\frac{25}{36}x^2+\frac13x+1[/tex]
