Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Z def logarytmu:
[tex]log_{a}b= c \ \ to \ \ a^{c} = b[/tex]
[tex]log_{8}32 = x\\\\8^{x} = 32\\\\(2^{3})^{x} = 2^{5}\\\\2^{3x} = 2^{5}[/tex]
podstawy są równe, więc wykładniki również, czyli:
[tex]3x = 5 \ \ \ /:3\\\\x = \frac{5}{3} =1\frac{2}{3}\\\\\underline{log_{8}32 = 1\frac{2}{3}}\\\\\underline{log_{4}16 = log_{4}4^{2} = 2}\\\\log_{8}32+log_{4}4^{2} = 1\frac{2}{3}+2 = 3\frac{2}{3}\neq 2\frac{1}{2}[/tex]
Równość nie jest prawdziwa.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]log_{8} 32+log_{4} 16=2\frac{1}{2}[/tex]
1. Obliczamy logarytmy po lewej stronie osobno.
Korzystamy z definicji logarytmu: [tex]log_{a} c=b[/tex] ⇔ [tex]a^{b} =c[/tex]
=====================================
[tex]log_{8} 32= b[/tex] ⇔ [tex]8^{b} =32[/tex] ←doprowadzamy do tej samej podstawy
[tex](2^{3})^{b} =2^{5}[/tex]
[tex]2^{3b} =2^{5}[/tex]
[tex]3b=5/:3[/tex]
[tex]b=\frac{5}{3} =1\frac{2}{3}[/tex]
mamy: [tex]log_{32} =1\frac{2}{3}[/tex]
============================
[tex]log_{4} 16= b[/tex] ⇔ [tex]4^{b} =16[/tex] ←doprowadzamy do tej samej podstawy
[tex]4^{b} =4^{2}[/tex]
[tex]b=2[/tex]
mamy: [tex]log_{4} 16=2[/tex]
============================
2. Podstawiamy do równania.
[tex]log_{8} 32+log_{4} 16=2\frac{1}{2}\\[/tex]
[tex]1\frac{2}{3} +2=3\frac{2}{3}[/tex]
[tex]3\frac{2}{3} \neq 2\frac{1}{2}[/tex]
Równość nie jest prawdziwa.