Odpowiedź :
Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad. 1
y = -3x + 1,
jest to równanie prostej w postaci kierunkowej y = mx + n
(y = ax + b), gdzie współczynnik kierunkowy prostej m = tg α
[jest tangensem kąta nachylenia prostej do dodatniego zwrotu
(kierunku) osi Ox+]
Wniosek:
By dwie proste o współczynnikach kierunkowych m1, m2
były równoległe, to muszą mieć równe kąty nachylenia α do osi Ox,
a więc (warunek równoległości prostych): proste muszą mieć równe
współczynniki kierunkowe m1 = m2,
to nasza szukana prosta jest już postaci: y = -3x + n.
Punkt S(x, y) = S(4, -2) musi spełniać równanie naszej prostej, więc podstawiamy współrzędne x i y punktu S do równania prostej, to
-2 = -3•4 + n to n = 12 - 2 to n = 10
to: Odpowiedź:
Równanie szukanej prostej: y = -3x + n to y = -3x + 10
_____________________________ Sprawdzenie:
Podstawiamy współrzędne punktu do S równania:
Lewa strona równania L = - 2,
Prawa strona równania P = -3•4 + 10 = - 12 + 10 = - 2 ______________________________
to L = P, co należało sprawdzić.
Zad. 2
Mamy prostą y= (2/5)x + 6, gdzie m1 = 2/5
Z analizy wzoru na kąt zawarty miedzy dwoma prostymi:
tg φ = ∓ (m1 - m2)/(1 + m1m2) → ∞ gdy prosta L1 ⊥ L2, bo dla kąta
prostego tg 90º → ∞ to mianownik ułamka musi dążyć do zera:
(1 + m1m2) → 0, bo np., weźmy ciąg:
a/un = {a/1/10, a/1/100, a/1/1000, a/1/10 000...,} to un → 0 to
{a:1/10, a:1/100, a:1/1000, ...,} = {a•10, a•100, a•1000, ...,} to a/un → ∞,
z tej analizy wynika:
warunek prostopadłości dwóch prostych: 1 + m1m2 = 0
to 1 + (2/5)•m2 = 0 to (2/5)•m2 = -1 /•(5/2) to m2 = -5/2 to
szukana prosta prostopadła do prostej y= (2/5)x + 6 ma teraz
równanie: y= (m2)x + n to y= (-5/2)x + n
[gdzie tak jak w Zad. 1 podstawiamy teraz współrzędne punktu P(2, -4)]
to - 4 = (-5/2)•2 + n to - 4 = - 5 + n to - 4 + 5 = n to n = 1
to: Odpowiedź:
Równanie szukanej prostej y= (-5/2)x + n to y = (-5/2)x + 1
___________________________________ Sprawdzenie:
Podstawiamy współrzędne punktu do P równania:
Lewa strona równania L = - 4,
Prawa strona równania P = (-5/2)•2 + 1 = - 5 + 1 = - 4 __________________________________________
to L = P, co należało sprawdzić.
Zad. 3
Mamy dwie proste:
f(x) = y = (2m - 6)x + 8 gdzie m1 = (2m - 6) i
g(x) = y = -5x - √3 gdzie m2 = -5
W Zad. 2 został wyprowadzony warunek prostopadłości dwóch
prostych: 1 + m1m2 = 0 to 1 + (2m - 6)•(-5) = 0 to -10m + 30 = - 1
to - 10m = - 31 /:(-10) to m = 31/10 = 3,1
Odpowiedź:
Wartość parametru m = 3,1 proste są prostopadłe.
Zad. 4
W Zad. 1 został wyprowadzony: (warunek równoległości prostych):
proste muszą mieć równe współczynniki kierunkowe m1 = m2,
to (m + 3) = (2 - 3m) to m + 3m = 2 - 3 to 4m = - 1 /:4 to
m = - 1/4
Odpowiedź:
Wartość parametru m = - 1/4 proste są równoległe.
