Przedstawmy równanie okręgu w postaci kanonicznej.
[tex]x^2+y^2-6x+8y+9=0\\(x^2-6x+9)-9+(y^2+8y+16)-16+9=0\\(x-3)^2+(y+4)^2=16[/tex]
Z postaci kanonicznej odczytujemy środek o promień okręgu.
[tex]S=(3,-4)\qquad r=\sqrt{16}=4[/tex]
Rysunek w załączniku.
Aby znaleźć punkty wspólne okręgu z prostą [tex]y=x-4[/tex], wykonajmy obliczenia, bo z wykresu trudno odczytać rozwiązanie, bo nie jest ono idealnie "po kratkach".
[tex](x-3)^2+(y+4)^2=16\\y=x-4\\(x-3)^2+(x-4+4)^2=16\\x^2-6x+9+x^2-16=0\\2x^2-6x-7=0\\\Delta=(-6)^2-4*2*(-7)=36+56=92\\\sqrt\Delta=\sqrt{92}=\sqrt{4*23}=2\sqrt{23}\\x_1=\frac{6-2\sqrt{23}}{2*2}=\frac{6-2\sqrt{23}}{4}=\frac{3-\sqrt{23}}{2}\\x_2=\frac{6+2\sqrt{23}}{2*2}=\frac{6+2\sqrt{23}}{4}=\frac{3+\sqrt{23}}{2}[/tex]
[tex]y_1=x_1-4=\frac{3-\sqrt{23}}{2}-4}} =\frac{3-\sqrt{23}}{2}-\frac{8}{2}}} =\frac{-5-\sqrt{23}}{2}\\y_2=x_2-4=\frac{3+\sqrt{23}}{2}-4}} =\frac{3+\sqrt{23}}{2}-\frac{8}{2}}} =\frac{-5+\sqrt{23}}{2}[/tex]
Zatem szukane punkty wspólne to okręgu i prostej to
[tex]A=\left(\frac{3-\sqrt{23}}{2},\frac{-5-\sqrt{23}}{2}\right)\qquad B=\left(\frac{3+\sqrt{23}}{2},\frac{-5+\sqrt{23}}{2}\right)[/tex]
