Odpowiedź:
Reszta to 6.
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przeanalizujmy reszty z dzielenia przez 7 kolejnych potęg liczby 5.
[tex]\frac{5^{1} }{7}= \frac{5}{7}= 0[/tex] reszta 5
[tex]\frac{5^{2} }{7}= \frac{25 }{7}=3[/tex] r. 4
[tex]\frac{5^{3} }{7}=\frac{125 }{7}= 17[/tex] r. 6
[tex]\frac{5^{4} }{7}=89[/tex] r. 2
[tex]\frac{5^{5} }{7}= 446[/tex] r. 3
[tex]\frac{5^{6} }{7}= 2232[/tex] r. 1
[tex]\frac{5^{7} }{7}= 11160[/tex] r. 5
[tex]\frac{5^{8} }{7}= 55803[/tex] r. 4
zatem można zauważyć, że cyklicznie powtarza się ciąg dla reszty z dzielenia przez 7 kolejnych potęg liczby 5 :
5 ; 4 ; 6 ; 2 ; 3 ; 1
[tex]5^{123}= 5^{6*20+3}= 5^{6*20}*5^{3}[/tex] → 20 pełnych ciągów + trzecia cyfra tego ciągu =
= 6
