Mushriim
Rozwiązane

Muszę to na szybko rozwiązać! Dzięki z góry:

[tex]x - y = 11\\x^{2} + y^{2} = 121\\x^{5050} + y^{5050} = ?[/tex]



Odpowiedź :

Konrad509

[tex](x-y)^2=x^2-2xy+y^2\\11^2=121-2xy\\121=121-2xy\\2xy=0[/tex]

Powyższe równanie jest prawdziwe, gdy którakolwiek niewiadoma jest równa 0.

Gdy [tex]x=0[/tex], to [tex]0-y=11 \Rightarrow y=-11[/tex]

Gdy [tex]y=0[/tex], to [tex]x-0=11 \Rightarrow x=11[/tex]

Zatem

[tex](x,y)\in\{(0,-11),(11,0)\}[/tex]

Nietrudno jednak zauważyć, że dla obu par, wynik będzie taki sam:

[tex]x^{5050}+y^{5050}=0^{5050}+(-11)^{5050}=11^{5050}\\\\x^{5050}+y^{5050}=11^{5050}+0^{505}=11^{5050}[/tex]

Piok

Pierwsze równanie opisuje prostą przechodzącą przez punkty [tex](0,11)[/tex] oraz [tex](11,0)[/tex]. Natomiast drugie równanie to okrąg o promieniu [tex]11[/tex] i środku [tex](0,0)[/tex]. Widać wiec, że ta prosta przecina się z tym okręgiem właśnie we wspomnianych punktach. Więc [tex]x^{5050}+y^{5050}=11^{5050}+0^{5050}[/tex] lub symetrycznie [tex]x^{5050}+y^{5050}=0^{5050}+11^{5050}[/tex] tak czy inaczej to [tex]11^{5050}.[/tex]  

Inne Pytanie