Rozwiązanie:
[tex]\sqrt{5-x}=5-x^{2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]5-x\geq 0 \iff \geq x\leq 5[/tex]
Zakładamy, że [tex]5-x^{2}\geq 0[/tex].
Podnieśmy stronami do kwadratu:
[tex]5-x=(5-x^{2})^{2}[/tex]
[tex]5-x=5^{2}-5 \cdot 2x^{2}+x^{4}[/tex]
[tex]5^{2}-5(2x^{2}+1)+x^{4}+x=0[/tex]
Traktujemy to jako równanie kwadratowe, ale w zależności od [tex]"5"[/tex], a nie od [tex]x[/tex].
Mamy:
[tex]\Delta=(2x^{2}+1)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (x^{4}+x)=4x^{4}+4x^{2}+1-4x^{4}-4x=4x^{2}-4x+1=[/tex]
[tex]=(2x-1)^{2}[/tex]
Mamy zatem:
[tex]$5=\frac{2x^2+1-(2x-1)}{2} =x^{2}-x+1 \vee 5=\frac{2x^{2}+1+2x-1}{2} =x^{2}+x[/tex]
Ostatecznie:
[tex]x^{2}-x-4=0 \vee x^{2}+x-5=0[/tex]
[tex]$x=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2} \vee x=\frac{-1\pm \sqrt{21}}{2}[/tex]
Po wybraniu odpowiednich rozwiązań (założenie) mamy:
[tex]$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2} \vee x=\frac{-1+ \sqrt{21}}{2}[/tex]
