Szukamy maksimum funkcji:
[tex]f(x,y,z)=xyz[/tex]
przy warunku dodatkowym
[tex]x+y+z^2=16[/tex]
w tym celu konstruuję funkcją Lagrange'a i szukam jej ekstremów:
[tex]L=xyz+\lambda(x+y+z^2-16)\\\frac{\partial L}{\partial x}=yz+\lambda=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=xz+\lambda=0\\\frac{\partial L}{\partial z}=xy+2\lambda z=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y+z^2-16=0[/tex]
z pierwszych dwóch równań:
[tex]z(y-x)=0\ \Rightarrow z=0\ \vee x=y[/tex]
dla z=0 nasza funkcja f(x,y,z)=0, więc nie jest dodatnia
natomiast dla x=y
[tex]2x+z^2-16=0\ \Rightarrow x=8-\frac{1}{2}z^2\\\lambda=-xz=-8z+\frac{1}{2}z^3\\x^2+2\lambda z=0\\64-8z^2+\frac{1}{4}z^4+2z(-8z+\frac{1}{2}z^3)=0\\64-8z^2+\frac{1}{4}z^4-16z^2+z^4=0\\\frac{5}{4}z^4-24z^2+64=0\\z^2=a > 0\\\frac{5}{4}a^2-24a+64=0\\\Delta=576-5\cdot64=256\\a_1=\frac{24-16}{5/2}=\frac{16}{5} \\a_2=\frac{24+16}{5/2}=16\\z_{1,2}=\pm\frac{4}{\sqrt{5}}\ \Rightarrow x=y=\frac{32}{5}\\z_{3,4}=\pm4\ \Rightarrow x=y=0[/tex]
Oczywiście wybieram rozwiązanie
[tex](\frac{32}{5};\frac{32}{5};\frac{4}{\sqrt{5}})\\f(\frac{32}{5};\frac{32}{5};\frac{4}{\sqrt{5}})=\frac{4096\sqrt{5}}{125}[/tex]
pozdrawiam