Mamy wektor
[tex]b= \left[\begin{array}{c}5&2&-1\end{array}\right] \in \mathbb{R}^3[/tex]
oraz zadaną bazę [tex]\mathbb{R}^3[/tex]:
[tex]e_1= \left[\begin{array}{c}1&2&1\end{array}\right] \quad e_2= \left[\begin{array}{c}0&1&3\end{array}\right] \quad e_3= \left[\begin{array}{c}1&2&0\end{array}\right][/tex]
Zapisujemy równanie:
[tex]A e_1 + B e_2 + C e_3 = b[/tex]
Równoznacznie w postaci macierzowej (wektorów):
[tex]A \left[\begin{array}{c}1&2&1\end{array}\right] + B\left[\begin{array}{c}0&1&3\end{array}\right] + C \left[\begin{array}{c}1&2&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}5&2&-1\end{array}\right][/tex]
Przekształcamy:
[tex]\left[\begin{array}{c}A&2A&A\end{array}\right] + \left[\begin{array}{c}0&B&3B\end{array}\right] +\left[\begin{array}{c}C&2C&0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}5&2&-1\end{array}\right]\\\\\left[\begin{array}{ccc}A+C\\2A+B+2C\\A+3B\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}5&2&-1\end{array}\right][/tex]
stąd dostajemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{c}A+C = 5&2A+B+2C = 2&A+3B = -1\end{array}[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex]\left\{\begin{array}{c}C = 5-A&2A+B+2C = 2&A= -1-3B\end{array}\right\\ \left\{\begin{array}{c}C = 5-(-1-3B)&2A+B+2C = 2&A= -1-3B\end{array}\right\\\\ \left\{\begin{array}{cc}C = 6+3B&(1)\\2A+B+2C = 2&(2)\\A= -1-3B&(3)\end{array}[/tex]
Podstawiamy (1) i (3) do (2):
[tex]2(-1-3B)+B+2(6+3B)=2\\\\-2-6B+B+12+6B=2\\\\B+10=2\qquad|-10\\\\\boxed{B=-8}[/tex]
Podstawiamy do (1) i (3):
[tex]C=6+3\cdot(-8)\\\\C=6-24\\\\\boxed{C=-18}\\\\A=-1-3\cdot(-8)\\\\A=-1+24\\\\\boxed{A=23}[/tex]
Dostajemy więc tym samym, że reprezentacja wektora b w bazie [tex]\{ e_1, e_2, e_3\}[/tex] jest postaci:
[tex]b= \left[\begin{array}{c}23&-8&-18\end{array}\right]_{\{e_1,e_2,e_3\}}[/tex]
Analogiczną procedurę możemy stosować, szukając reprezentacji dowolnego wektora w dowolnej bazie.