Rozwiązane

Która liczba jest sumą 10 początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a1=3 i ilorazie q= - pierwiastek z 2. ​.



Odpowiedź :

Animaldk

Odpowiedź:

93 - 93√2 = 93(1 - √2)

Szczegółowe wyjaśnienie:

Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, w którym każdy następny wyraz ciągu powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie przez stałą liczbę różną od 0 zwaną ilorazem ciągu.

Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie a₁ i ilorazie q:

[tex]S_n=\dfrac{a_1\cdot\left(1- q^n\right)}{1-q}[/tex]

Podstawiamy

n = 10, a₁ = 3 i q = -√2

[tex]S_{10}=\dfrac{3\cdot\left[1-\left(-\sqrt2\right)^{10}\right]}{1-\left(-\sqrt2\right)}=\dfrac{3\cdot\left(1-32\right)}{1+\sqrt2}=\dfrac{3\cdot\left(-31\right)}{1+\sqrt2}=-\dfrac{93}{1+\sqrt2}[/tex]

pozbędziemy się niewymierności z mianownika korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

a² - b² = (a - b)(a + b)

[tex]S_{10}=-\dfrac{93}{1+\sqrt2}\cdot\dfrac{1-\sqrt2}{1-\sqrt2}=-\dfrac{93-93\sqrt2}{1^2-(\sqrt2)^2}=-\dfrac{93-93\sqrt2}{1-2}=-\dfrac{93-93\sqrt2}{-1}\\\\\\\huge\boxed{S_{10}=93-93\sqrt2=93\left(1-\sqrt2\right)}[/tex]

Ryszardczernyhowski

Odpowiedź:

Sumą 10 początkowych wyrazów  tego ciągu geometrycznego

jest liczba   93(1 - √2)

Szczegółowe wyjaśnienie:

Napiszemy ten ciąg:  a1 = 3;  q = - √2

3, -3√2, 3•2, -3•2√2, 3•2•2, -3•2•2√2, 3•2•2•2, -3•2•2•2√2,  3•2•2•2•2,

-3•2•2•2•2√2.   to   suma =

= 3 - 3√2 + 6 - 6√2 + 12 - 12√2 + 24 - 24√2 + 48 - 48√2 =

= (3 + 6 + 12 + 24 + 48) - √2(3 + 6 + 12 + 24 + 48) = 93 - 93√2 =

=  93(1 - √2)

to: Odpowiedź:

Sumą 10 początkowych wyrazów  tego ciągu geometrycznego

jest liczba   93(1 - √2)