Odpowiedź :
14 przedmiotów możemy rozmieścić w 3 pudełkach tak, aby: (a) w jednym z pudełek znalazło się co najmniej 8 przedmiotów, na 45 sposobów; (b) w żadnym pudełku nie znalazło się więcej niż 7 przedmiotów, na 33 sposobów.
Kombinatoryka
Dział matematyki, który pomaga w odpowiedzi na pytania typu "Ile jest możliwych wyników w rzucie kostką?", jest kombinatoryka. Do obliczania zadań z tego działu stosujemy wzory wariacje, wariacje z powtórzeniami, permutacje i kombinacje. Możemy też stosować regułę mnożenia. Dla przykładu, jeżeli rzucamy 4 razy sześcienną kostką do gry i chcemy obliczyć, ile jest możliwych wyników, które możemy otrzymać, stosując regułę mnożenia, liczymy następująco: w każdym rzucie mamy 6 możliwych wyników, rzucamy 4 razy, więc łącznie mamy [tex]6*6*6*6=6^4[/tex] możliwych wyników.
Załóżmy, że mamy 14 nierozróżnialnych przedmiotów i rozmieszczamy je w 3 rozróżnialnych pudełkach.
(a) Rozkładamy te przedmioty tak, aby w jednym pudełku znalazło się co najmniej 8 przedmiotów. Rozpiszmy przykładowe możliwości - trójki liczb - pierwsza niech oznacza ilość przedmiotów w pierwszym pudełku, druga ilość przedmiotów w drugim pudełku, trzecia ilość przedmiotów w trzecim pudełku:
[tex](8,5,1)\\(8,1,5)\\(8,4,2)\\(8,2,4)\\(8,3,3)[/tex]
Jeśli zakładamy, że pudełka są rozróżnialne, to taki rozkład przedmiotów jak wyżej, możemy dokonać na trzy sposoby, czyli mamy tutaj [tex]5*3=15[/tex] możliwości.
Mamy dalej:
[tex](9,4,1)\\(9,1,4)\\(9,3,2)\\(9,2,3)[/tex]
Tutaj podobnie mamy [tex]4*3=12[/tex] możliwości.
Dalej mamy:
[tex](10,3,1)\\(10,1,3)\\(10,2,2)[/tex]
czyli [tex]3*3=9[/tex] możliwości.
[tex](11,2,1)\\(11,1,2)\\(12,1,1)[/tex]
podobnie [tex]3*3=9[/tex] możliwości.
Zliczamy wszystkie pokazane możliwości takiego rozłożenia przedmiotów: [tex]15+12+9+9=45[/tex].
(b) Rozkładamy przedmioty tak, aby w żadnym pudełku nie znalazło się więcej niż 7 przedmiotów. Podobnie rozpiszemy te możliwości w postaci trójek. Niech w jednym pudełku będzie 7 przedmiotów:
[tex](7,6,1)\\(7,1,6)\\(7,5,2)\\(7,2,5)\\(7,4,3)\\(7,3,4)[/tex]
Mamy [tex]6*3=18[/tex] możliwości.
Dalej niech w jednym z pudełek będzie 6 przedmiotów:
[tex](6,6,2)\\(6,5,3)\\(6,3,5)\\(6,4,4)[/tex]
czyli mamy [tex]4*3=12[/tex] możliwości.
Niech w jednym z pudełek będzie 5 przedmiotów. Wtedy:
[tex](5,5,4)[/tex]
tutaj mamy [tex]1*3=3[/tex] możliwości.
Gdybyśmy rozpisywali dalej, powtarzałyby się możliwości uwzględnione już wcześniej. Zatem wszystkich możliwości takiego rozłożenia przedmiotów jest [tex]18+12+3=33[/tex].
