Odpowiedź :
Kombinatoryka - talia kart
24 karty rozdajemy między 3 osoby (A,B,C). W ilu możliwych rozdaniach można otrzymać:
- Wszystkie asy?
[tex]*[/tex] najpierw rozdajemy komplet 4 asów - może go dostać osoba A, B lub C - są trzy możliwości
[tex]*[/tex] pozostałe 20 kart rozdajemy dowolnie czyli na sposobów:
[tex]{20 \choose 4} * {16 \choose 8} *{8 \choose 8} = 62355150[/tex]
[tex]*[/tex] finalnie: [tex]3 * 62355150 = 187065450[/tex] sposobów. - Wszystkie asy i króle?
[tex]*[/tex] najpierw rozdajemy zestaw dwóch kompletów: 4 asów i 4 królów - może go dostać osoba A, B lub C - są trzy możliwości
[tex]*[/tex] pozostałe 16 kart rozdajemy dowolnie czyli na sposobów:
[tex]{16 \choose 8} *{8 \choose 8} = 12870[/tex]
[tex]*[/tex] finalnie: [tex]3* 12870 =38610[/tex] sposobów. - Sześć kierów?
[tex]*[/tex] wśród 24 kart jest sześć kierów, rozdajemy więc wszystkie możliwe - ten zestaw może dostać osoba A, B lub C - są trzy możliwości
[tex]*[/tex] pozostałe 18 kart rozdajemy dowolnie czyli na sposobów:
[tex]{18 \choose 2} *{16 \choose 8} *{8 \choose 8} = 1969110[/tex]
[tex]*[/tex] finalnie: [tex]3* 1969110 = 5907330[/tex] sposobów. - Karty każdego koloru?
[tex]*[/tex] mamy cztery kolory i po sześć kart w każdym kolorze, utworzymy najpierw zestaw czterech kart, każdej w innym kolorze, możemy to zrobić na sposobów:
[tex]{6 \choose 1} ^4 = 1296[/tex]
[tex]*[/tex] następnie wybieramy jedną z trzech osób i dajemy jej ułożony zestaw - na trzy sposoby
[tex]*[/tex] pozostałych 20 kart rozdajemy na sposobów:[tex]{20 \choose 4} * {16 \choose 8} *{8 \choose 8} = 62355150[/tex]
[tex]*[/tex] finalnie: [tex]1296 * 3 * 62355150 = 242436823200[/tex] sposobów. - Dwa asy i dwa króle?
[tex]*[/tex] dwa asy możemy wybrać na [tex]{ 4 \choose 2}[/tex] sposoby, tak samo dwa króle:
[tex]{4 \choose 2} ^2 = 36[/tex]
[tex]*[/tex] następnie wybieramy jedną z trzech osób i dajemy jej ułożony zestaw - na trzy sposoby
[tex]*[/tex] pozostałych 20 kart rozdajemy na sposobów:[tex]{20 \choose 4} * {16 \choose 8} *{8 \choose 8} = 62355150[/tex]
[tex]*[/tex] finalnie: [tex]36 * 3 * 62355150 = 6734356200[/tex] sposobów.
Jeśli chcemy policzyć prawdopodobieństwo zaistnienia dowolnych z powyżej opisanych (lub podobnych) zdarzeń, musimy znać liczbę wszystkich możliwych rozdań 24 kart między 3 osoby. Procedurę losowania możemy rozumieć na różne sposoby, np.:
- "standardowo" - rozdajemy po kolei po jednej karcie każdej z trzech osób
- "sprytnie" - wybieramy najpierw osiem dowolnych kart z talii i dajemy je danej osobie; następnie osiem kart spośród pozostałych i dajemy kolejnej osobie; to co zostanie, dajemy ostatniej z osób.
"Sprytny" sposób opisu tej sytuacji można łatwo zapisać w języku sformalizowanym korzystając z symbolu dwumianowego Newtona:
[tex]{ n \choose k} = \frac{n!}{k! (n-k)!}[/tex]
który to opisuje na ile sposobów można wybrać [tex]k[/tex] elementów spośród [tex]n[/tex]-elementowego zbioru.
Finalnie mamy więc:
[tex]{24 \choose 8} * {16 \choose 8} *{8 \choose 8} = {24 \choose 8} * {16 \choose 8}=9465511770[/tex]
#SPJ1
